2017 AMC 8 Problema 20

Question

Se elige al azar un entero entre

1000

y

9999,

inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un entero impar cuyos dígitos sean todos distintos?

An integer between

1000

and

9999,

inclusive, is chosen at random. What is the probability that it is an odd integer whose digits are all distinct?

\dfrac{14}{75}

\dfrac{56}{225}

\dfrac{107}{400}

\dfrac{7}{25}

\dfrac{9}{25}

Cuenta directamente los números de cuatro dígitos favorables, luego divide entre la cantidad de enteros de cuatro dígitos.

Count favorable four-digit numbers directly, then divide by the number of four-digit integers.

Elige primero el dígito de las unidades impar, luego elige el dígito de los millares distinto de cero, luego los dos dígitos restantes.

Choose the odd units digit first, then choose the nonzero thousands digit, then the remaining two digits.

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Como el número es impar, el último dígito es impar, lo que da

5

posibilidades. El dígito de los millares no puede ser cero ni el número que ya obtuvimos, así que eso da

8

posibilidades. De manera similar, el dígito de las centenas tiene

8

posibilidades, y el dígito de las decenas tiene

7

posibilidades. Esto da un total de

5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2{,}240,

lo que hace que la probabilidad sea

\dfrac{2{,}240}{9{,}000} = \dfrac{56}{225}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Since the number is odd, the last digit is odd, giving

5

possibilities. The thousands digit cannot be zero or the number we already got, so that gives

8

possibilities. Similarly, the hundreds digit has

8

possibilities, and the tens digit has

7

possibilities. This gives a total of

5 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 2{,}240,

making the probability

\dfrac{2{,}240}{9{,}000} = \dfrac{56}{225}.

Thus, B is the correct answer.

El Problema 20 en otros años