Question

Para cualquier entero positivo $M,$ la notación $M!$ denota el producto de los enteros de $1$ a $M.$ ¿Cuál es el mayor entero $n$ para el cual $5^n$ es un factor de la suma ? $98!+99!+100!$

For any positive integer $M,$ the notation $M!$ denotes the product of the integers $1$ through $M.$ What is the largest integer $n$ for which $5^n$ is a factor of the sum: $98!+99!+100!$

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Respuesta: D

Conceptos:factorial Fórmula de Legendre

Nivel de dificultad: 1640

Solución en video:

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Solución escrita:

Sacamos $98!$ como factor común: $\begin{aligned} 98!+99!+100! &=98!\bigl(1+99\\ &\qquad+100\cdot99\bigr)\\ &=98!\cdot100^2. \end{aligned}$

El exponente de $5$ en $98!$ es $\left\lfloor98/5\right\rfloor+\left\lfloor98/25\right\rfloor$ , que es igual a $19+3=22.$ El factor $100^2$ aporta otros cuatro factores de $5$ , de modo que el exponente total es $22+4=26.$

Así, D es la respuesta correcta.

Factor out $98!$ : $\begin{aligned} 98!+99!+100! &=98!\bigl(1+99\\ &\qquad+100\cdot99\bigr)\\ &=98!\cdot100^2. \end{aligned}$

The exponent of $5$ in $98!$ is $\left\lfloor98/5\right\rfloor+\left\lfloor98/25\right\rfloor$ , which equals $19+3=22.$ The factor $100^2$ contributes four more factors of $5$ , so the total exponent is $22+4=26.$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 8 Problema 19

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1640

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Solución escrita:

El Problema 19 en otros años