2015 AMC 8 Problema 20

Question

Ralph fue a la tienda y compró

12

pares de calcetines por un total de

\$24

. Algunos de los calcetines que compró costaban

\$1

el par, algunos costaban

\$3

el par, y algunos costaban

\$4

el par. Si compró al menos un par de cada tipo, ¿cuántos pares de calcetines de

\$1

compró Ralph?

Ralph went to the store and bought

12

pairs of socks for a total of

\$24

. Some of the socks he bought cost

\$1

a pair, some of the socks he bought cost

\$3

a pair, and some of the socks he bought cost

\$4

a pair. If he bought at least one pair of each type, how many pairs of

\$1

socks did Ralph buy?

4

5

6

7

8

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones aritmética modular

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Usa variables para los números de pares de

\$1,

\$3,

y

\$4

Let the numbers of

\$1,

\$3,

and

\$4

pairs be variables.

Pista grande:

Resta la ecuación del conteo de pares a la ecuación del costo

Subtract the pair-count equation from the cost equation.

Solución en video:

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Solución escrita:

Sean

a,

b,

y

c

los números de pares de

\$1,

\$3,

y

\$4,

respectivamente. Entonces

a+b+c=12,

a+3b+4c=24.

Restando se obtiene

2b+3c=12.

Como se compró al menos un par de cada tipo,

b>0

y

c>0.

Además

3c<12,

así que

c<4.

Módulo

2,

la ecuación da que

c

es par, así que

c=2.

Entonces

2b+6=12,

así que

b=3,

y

a=12-3-2=7.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

a,

b,

and

c

be the numbers of

\$1,

\$3,

and

\$4

pairs, respectively. Then

a+b+c=12,

a+3b+4c=24.

Subtracting gives

2b+3c=12.

Since at least one pair of each type was bought,

b>0

and

c>0.

Also

3c<12,

so

c<4.

Modulo

2,

the equation gives

c

even, so

c=2.

Then

2b+6=12,

so

b=3,

and

a=12-3-2=7.

Thus, D is the correct answer.