2010 AMC 8 Problema 20

Question

En una habitación,

\frac{2}{5}

de las personas usan guantes, y

\frac{3}{4}

de las personas usan sombrero. ¿Cuál es el número mínimo de personas en la habitación que usan tanto sombrero como guantes?

In a room,

\frac{2}{5}

of the people are wearing gloves, and

\frac{3}{4}

of the people are wearing hats. What is the minimum number of people in the room wearing both a hat and gloves?

\ 3

\ 5

\ 8

\ 15

\ 20

Respuesta: A

Conceptos:inclusión-exclusión mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Minimiza el solapamiento haciendo que, si es posible, cada persona quede contada en al menos uno de los dos grupos

Minimize overlap by making everyone counted by at least one of the two groups if possible.

Pista grande:

El número total de personas debe hacer que ambas fracciones den números enteros

The total number of people must make both fractions whole numbers.

Solución:

Como en nuestra habitación

\dfrac 25

de las personas usan guantes, el número de personas debe ser múltiplo de

5.

Como

\dfrac 34

de las personas usan sombrero, el número de personas debe ser múltiplo de

4.

Por lo tanto, el número de personas en la habitación debe ser múltiplo de

20.

Ahora, también podemos usar la siguiente fórmula por el principio de inclusión-exclusión: Fracción de personas que usan ambos = Fracción de personas que usan guantes + Fracción de personas que usan sombrero - Fracción de personas que usan alguno de los dos.

Esto hace que nuestra fracción buscada sea igual a

\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -

la fracción de personas que usan alguno de los dos. Si queremos minimizar el número que usa ambos, maximizamos la fracción de personas que usan alguno, hasta

1.

Por lo tanto, la fracción de personas que usan ambos es

\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.

Como nuestro número es un múltiplo (positivo) de

20,

tenemos que el número de personas que usan ambos es

3

si elegimos tener solo

20

personas.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since our room has

\dfrac 25

of the people wearing gloves, the number of people must be a multiple of

5.

Since our room has

\dfrac 34

of the people wearing hats, the number of people must be a multiple of

4.

Therefore, the people in the room must be a multiple of

20.

Now, we can also use the following formula by the principle of inclusion exclusion: Fraction of people wearing both = Fraction of people wearing gloves + Fraction of people wearing hats - Fraction of people wearing either.

This makes our desired fraction equal to

\dfrac{2}{5} + \dfrac 34 -

Fraction of people who wear either. If we wish to minimize the number who wear both, we maximize the fraction of people who wear either, up to

1.

Therefore, the fraction of people that wear both is

\dfrac{2}{5} + \dfrac 34- 1 = \dfrac 3{20}.

Since our number is a (positive) multiple of

20,

we have the number of people wearing both as

3

if we choose to have just

20

people.

Therefore, A is the correct answer.