1997 AMC 8 Problema 24

Question

El diámetro

ACE

está dividido en

C

en la razón

2:3.

Los dos semicírculos,

ABC

y

CDE,

dividen la región circular en una región superior (sombreada) y una región inferior. La razón entre el área de la región superior y la de la región inferior es

Diameter

ACE

is divided at

C

in the ratio

2:3.

The two semicircles,

ABC

and

CDE,

divide the circular region into an upper (shaded) region and a lower region. The ratio of the area of the upper region to that of the lower region is

2:3

1:1

3:2

9:4

5:2

Respuesta: C

Conceptos:área del círculo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1610

Pista pequeña:

Considera la región superior como un semicírculo grande menos un semicírculo pequeño más el otro

Compare the upper region as a large semicircle minus one small semicircle plus the other

Pista grande:

Elige longitudes convenientes en la razón

2:3

Choose convenient lengths in the ratio

2:3

Solución:

Elige

AE=10

de modo que

AC=4

y

CE=6.

El semicírculo grande tiene radio

5,

así que su área es

\frac{25\pi}{2}.

El semicírculo sobre

AC

tiene radio

2

y área

2\pi,

mientras que el semicírculo sobre

CE

tiene radio

3

y área

\frac{9\pi}{2}.

La región superior sombreada tiene área

\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.

El círculo completo tiene área

25\pi,

así que la región inferior tiene área

25\pi-15\pi=10\pi.

La razón buscada es

15\pi:10\pi=3:2.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Choose

AE=10

so that

AC=4

and

CE=6.

The large semicircle has radius

5,

so its area is

\frac{25\pi}{2}.

The semicircle on

AC

has radius

2

and area

2\pi,

while the semicircle on

CE

has radius

3

and area

\frac{9\pi}{2}.

The upper shaded region has area

\frac{25\pi}{2}-2\pi+\frac{9\pi}{2}=15\pi.

The whole circle has area

25\pi,

so the lower region has area

25\pi-15\pi=10\pi.

The desired ratio is

15\pi:10\pi=3:2.

Thus, C is the correct answer.