Question

正整数 $N$ 以十一为底的表示为 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ ，以八为底的表示为 $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 表示（不一定互不相同的）数字。求满足条件的最小 $N$ 的通常写法。

A positive integer $N$ has base-eleven representation $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ and base-eight representation $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent (not necessarily distinct) digits. Find the least such $N$ expressed in base ten.

答案

答案：621

知识点：进制数字极限情形界定

难度评级：2110

解答：

把两种表示都写成通常数值，得到 $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a$ ，化简为 $120a = 512 + 53b + 7c.$ 由于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是以八为底的数字，所以 $0 \le a, b, c \le 7$ ，并且 $a \ge 1$ ，因为它是以十一为底表示的首位。

右边至少为 $512$ ，所以 $a \ge 5$ 。由于 $N = 121a + 11b + c$ 随 $a$ ，增大而增大，先试 $a = 5$ ：此时 $53b + 7c = 88$ 。若 $b = 0$ ，则 $7c = 88$ ，不可能；若 $b \ge 2$ ，则已经超过。因此 $b = 1$ ，并且 $7c = 35$ ，得到 $c = 5$ 。

因此 $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621$ ，其以八为底的表示为 $1155$ ，以十一为底的表示为 $515$ ，符合要求。最小的这样的 $N$ 是 $621$ 。

Equating the two representations in base ten gives $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a,$ which simplifies to $120a = 512 + 53b + 7c.$ All of $a,$ $b,$ $c$ are base-eight digits, so $0 \le a, b, c \le 7$ (and $a \ge 1$ since it leads the base-eleven representation).

The right side is at least $512,$ so $a \ge 5.$ Since $N = 121a + 11b + c$ increases with $a,$ try $a = 5:$ then $53b + 7c = 88.$ Here $b = 0$ gives $7c = 88,$ impossible, and $b \ge 2$ overshoots, so $b = 1$ and $7c = 35,$ giving $c = 5.$

Thus $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,$ whose base-eight representation is $1155$ and base-eleven representation is $515,$ as required. The least such $N$ is $621.$

2020 AIME I 第 3 题

答案：621

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 3 题