2020 AIME I 第 3 题

Question

正整数

N

的十一进制表示为

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}

，八进制表示为

\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}

，其中

a

、

b

、

c

表示（不一定互不相同的）数字。求满足条件的最小

N

的十进制表示。

A positive integer

N

has base-eleven representation

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}

and base-eight representation

\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},

where

a,

b,

and

c

represent (not necessarily distinct) digits. Find the least such

N

expressed in base ten.

答案

答案：621

知识点：进制数字极限情形界定

难度评级：2110

小提示：

令两个十进制数值相等：

121a + 11b + c

= 512 + 64b + 8c + a

。

Set the base-ten values equal:

121a + 11b + c

= 512 + 64b + 8c + a.

大提示：

化简为

120a = 512 + 53b + 7c

，其中数字

a, b, c \le 7

。右边迫使

a \ge 5

，而较小的

a

会给出较小的

N

。

Simplify to

120a = 512 + 53b + 7c

with digits

a, b, c \le 7.

The right side forces

a \ge 5,

and smaller

a

means smaller

N.

解答：

把两种表示都写成十进制数值，得到

121a + 11b + c

= 512 + 64b + 8c + a

，化简为

120a = 512 + 53b + 7c\text{。}

由于

a

、

b

、

c

都是八进制数字，所以

0 \le a, b, c \le 7

，并且

a \ge 1

，因为它是十一进制表示的首位。

右边至少为

512

，所以

a \ge 5

。由于

N = 121a + 11b + c

随

a

增大而增大，先试

a = 5

：此时

53b + 7c = 88

。若

b = 0

，则

7c = 88

，不可能；若

b \ge 2

，则已经超过。因此

b = 1

，并且

7c = 35

，得到

c = 5

。

因此

N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621

，其八进制表示为

1155

，十一进制表示为

515

，符合要求。最小的这样的

N

是

621

。

Equating the two representations in base ten gives

121a + 11b + c

= 512 + 64b + 8c + a,

which simplifies to

120a = 512 + 53b + 7c.

All of

a,

b,

c

are base-eight digits, so

0 \le a, b, c \le 7

(and

a \ge 1

since it leads the base-eleven representation).

The right side is at least

512,

so

a \ge 5.

Since

N = 121a + 11b + c

increases with

a,

try

a = 5:

then

53b + 7c = 88.

Here

b = 0

gives

7c = 88,

impossible, and

b \ge 2

overshoots, so

b = 1

and

7c = 35,

giving

c = 5.

Thus

N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,

whose base-eight representation is

1155

and base-eleven representation is

515,

as required. The least such

N

is

621.

2020 AIME I 第 3 题

答案：621

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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