Question

求满足下列方程组的正整数 $7$ 元组 $(a, b, c, d, e, f, g)$ 的个数： $abc = 70,$ $cde = 71,$ $efg = 72.$

Find the number of $7$ -tuples of positive integers $(a, b, c, d, e, f, g)$ that satisfy the following system of equations: $abc = 70,$ $cde = 71,$ $efg = 72.$

答案

答案：96

知识点：质因数分解因数个数

难度评级：1950

解答：

因为 $71$ 是质数，在 $cde = 71$ 中三个因子之一为 $71$ ，另外两个为 $1$ 。但 $c$ 整除 $abc = 70$ ， $e$ 整除 $efg = 72$ ，而 $71$ 既不整除 $70$ ，也不整除 $72$ 。所以 $c = e = 1$ 、 $d = 71$ 。

方程组化为 $ab = 70$ 与 $fg = 72$ 。每个 $70$ 的因数 $a$ 都确定一个 $b$ ，给出 $\tau(70) = 8$ 个有序数对；同理 $\tau(72) = 12$ 个有序数对 $(f, g)$ 。总数为 $8 \cdot 12 = 96$ 。

Since $71$ is prime, in $cde = 71$ one of the three factors is $71$ and the other two equal $1.$ But $c$ divides $abc = 70$ and $e$ divides $efg = 72,$ and $71$ divides neither $70$ nor $72.$ So $c = e = 1$ and $d = 71.$

The system reduces to $ab = 70$ and $fg = 72.$ Each divisor $a$ of $70$ determines $b,$ giving $\tau(70) = 8$ ordered pairs, and likewise $\tau(72) = 12$ ordered pairs $(f, g).$ The total is $8 \cdot 12 = 96.$

2019 AIME II 第 3 题

答案：96

难度评级：1950

解答：

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