Question

在 $\triangle PQR$ 中， $PR = 15$ 、 $QR = 20$ 、 $PQ = 25$ 。点 $A$ 与 $B$ 在 $\overline{PQ}$ 上，点 $C$ 与 $D$ 在 $\overline{QR}$ 上，点 $E$ 与 $F$ 在 $\overline{PR}$ 上，且 $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5$ 。求六边形 $ABCDEF$ 的面积。

In $\triangle PQR,$ $PR = 15,$ $QR = 20,$ and $PQ = 25.$ Points $A$ and $B$ lie on $\overline{PQ},$ points $C$ and $D$ lie on $\overline{QR},$ and points $E$ and $F$ lie on $\overline{PR},$ with $PA = QB = QC$ $= RD = RE = PF = 5.$ Find the area of hexagon $ABCDEF.$

答案

答案：120

知识点：三角形面积面积分割直角三角形

难度评级：2150

解答：

因为 $15^2 + 20^2 = 25^2$ ，三角形在 $R$ 处为直角，面积为 $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ 。同时 $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ ， $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ 。

六边形等于大三角形减去三个角上的三角形，每个小三角形都有两条长为 $5$ 的边：在 $P$ 处，面积为 $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10$ ；在 $Q$ 处，面积为 $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2}$ ；在 $R$ 处，面积为 $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}$ 。

因此六边形面积为 $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120$ 。

Since $15^2 + 20^2 = 25^2,$ the triangle is right-angled at $R,$ and its area is $\frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150.$ Also $\sin P = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ and $\sin Q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}.$

The hexagon is the triangle minus three corner triangles, each with two sides of length $5:$ at $P,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 10;$ at $Q,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{3}{5} = \frac{15}{2};$ at $R,$ area $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2}.$

Therefore the hexagon has area $150 - 10 - \frac{15}{2} - \frac{25}{2} = 120.$

2019 AIME I 第 3 题

答案：120

难度评级：2150

解答：

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