Question

求所有满足以下条件的正整数 $b \lt 1000$ 的和： $b$ 进制整数 $36_{b}$ 是完全平方数，且 $b$ 进制整数 $27_{b}$ 是完全立方数。

Find the sum of all positive integers $b \lt 1000$ such that the base- $b$ integer $36_{b}$ is a perfect square and the base- $b$ integer $27_{b}$ is a perfect cube.

答案

答案：371

知识点：进制完全平方数完全幂极限情形界定

难度评级：2170

解答：

条件说明 $3b + 6$ 是完全平方数，并且 $2b + 7$ 是完全立方数。由于 $2b + 7$ 是奇数，且 $b \lt 1000$ 使 $2b + 7 \lt 2007$ ，这个立方数只能是 $1$ 、 $27$ 、 $125$ 、 $343$ 、 $729$ 、 $1331$ ，给出 $b = -3$ 、 $10$ 、 $59$ 、 $168$ 、 $361$ 、 $662$ 。

对这些正候选值， $3b + 6$ 分别为 $36$ 、 $183$ 、 $510$ 、 $1089$ 、 $1992$ ，其中只有 $36 = 6^2$ （对应 $b = 10$ ）和 $1089 = 33^2$ （对应 $b = 361$ ）是完全平方数。所求和为 $10 + 361 = 371$ 。

The conditions say $3b + 6$ is a perfect square and $2b + 7$ is a perfect cube. Since $2b + 7$ is odd and $b \lt 1000$ forces $2b + 7 \lt 2007,$ the cube must be one of $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ giving $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

The corresponding values of $3b + 6$ for the positive candidates are $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ and only $36 = 6^2$ (for $b = 10$ ) and $1089 = 33^2$ (for $b = 361$ ) are perfect squares. The requested sum is $10 + 361 = 371.$

2018 AIME II 第 3 题

答案：371

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 3 题