Question

存在一个质数 $p$ ，使得 $16p + 1$ 是某个正整数的立方。求 $p$ 。

There is a prime number $p$ such that $16p + 1$ is the cube of a positive integer. Find $p.$

答案

答案：307

难度评级：2010

解答：

设 $16p + 1 = n^3$ ，则 $16p = n^3 - 1$ $= (n - 1)(n^2 + n + 1)$ 。因为 $16p + 1$ 是奇数，所以 $n$ 为奇数，且 $n^2 + n + 1$ 也是奇数。因此四个因子 $2$ 都必须整除 $n - 1$ ：写成 $n - 1 = 16k$ ，于是 $p = k(n^2 + n + 1)$ 。为了使 $p$ 为质数，必须有 $k = 1$ ，所以 $n = 17$ 。

此时 $p = 17^2 + 17 + 1 = 307$ ，它确实是质数，并且 $16 \cdot 307 + 1 = 4913 = 17^3$ 。

Write $16p + 1 = n^3,$ so $16p = n^3 - 1$ $= (n - 1)(n^2 + n + 1).$ Since $16p + 1$ is odd, $n$ is odd, and $n^2 + n + 1$ is odd as well. Therefore all four factors of $2$ must divide $n - 1:$ write $n - 1 = 16k,$ which gives $p = k(n^2 + n + 1).$ For $p$ to be prime we need $k = 1,$ so $n = 17.$

Then $p = 17^2 + 17 + 1 = 307,$ which is indeed prime, and $16 \cdot 307 + 1 = 4913 = 17^3.$

2015 AIME I 第 3 题

答案：307

难度评级：2010

解答：

其他年份的第 3 题