Question

设 $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数。存在一个复数 $w$ ，使得 $P(z)$ 的三个根分别为 $w + 3i$ ， $w + 9i$ ，以及 $2w - 4$ ，其中 $i^2 = -1$ 。求 $|a + b + c|$ 。

Let $P(z) = z^3 + az^2 + bz + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are real. There exists a complex number $w$ such that the three roots of $P(z)$ are $w + 3i,$ $w + 9i,$ and $2w - 4,$ where $i^2 = -1.$ Find $|a + b + c|.$

答案

答案：136

知识点：复数多项式韦达定理

难度评级：2410

解答：

设 $w = x + yi$ ，其中 $x, y$ 为实数。根的和为 $4w + 12i - 4 = -a$ ，它是实数，所以 $4y + 12 = 0$ ， $y = -3$ 。根于是为 $x$ ， $x + 6i$ ，以及 $2x - 4 - 6i$ 。因为系数为实数，两个非实根必须互为共轭，所以 $2x - 4 = x$ ，得 $x = 4$ 。根为 $4$ ， $4 + 6i$ ， $4 - 6i$ 。

现在 $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ 所以 $a + b + c = -136$ ， $|a + b + c| = 136$ 。

Write $w = x + yi$ with $x, y$ real. The sum of the roots is $4w + 12i - 4 = -a,$ which is real, so $4y + 12 = 0$ and $y = -3.$ The roots are then $x,$ $x + 6i,$ and $2x - 4 - 6i.$ Because the coefficients are real, the two non-real roots must be conjugates, so $2x - 4 = x,$ giving $x = 4.$ The roots are $4,$ $4 + 6i,$ and $4 - 6i.$

Now $\begin{aligned} 1 + a + b + c &= P(1) \\ &= (1 - 4) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 + 6i)\bigr) \\ &\quad {}\cdot \bigl(1 - (4 - 6i)\bigr) \\ &= (-3)(9 + 36) \\ &= -135, \end{aligned}$ so $a + b + c = -136$ and $|a + b + c| = 136.$

2010 AIME II 第 7 题

答案：136

难度评级：2410

解答：

其他年份的第 7 题