Question

已知对所有正整数 $k$ ， $\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}$ 求最小的正整数 $k$ ，使得 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ 是 $200$ 的倍数。

It is known that, for all positive integers $k,$ $\begin{aligned} &1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2 \\ &= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}. \end{aligned}$ Find the smallest positive integer $k$ such that $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + k^2$ is a multiple of $200.$

答案

答案：112

知识点：前n项平方和中国剩余定理分类讨论

难度评级：2500

解答：

该平方和是 $200$ 的倍数，当且仅当 $k(k+1)(2k+1)$ 是 $1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2$ 的倍数。因子 $3$ 总会整除 $k(k+1)(2k+1)$ （若 $k \equiv 1 \pmod 3$ ，则 $3 \mid 2k+1$ ），所以只需考虑 $2^4$ 和 $5^2$ 。

由于 $2k+1$ 是奇数，且 $k$ 、 $k+1$ 不可能都为偶数， $16$ 必须整除 $k$ 或 $k+1$ ，所以 $k \equiv 0$ 或 $15 \pmod{16}.$ 类似地， $25$ 必须整除 $k$ 、 $k+1$ 、 $2k+1,$ 中的一个，得到 $k \equiv 0$ 、 $24,$ 或 $12 \pmod{25}.$ 把每一对同余条件合并到模 $400$ 最小正解依次为 $112$ 、 $175$ 、 $224$ 、 $287$ 、 $399,$ 和 $400.$

最小的是 $k = 112:$ 确实 $112 \cdot 113 \cdot 225$ $= (16 \cdot 7) \cdot 113 \cdot (9 \cdot 25)$ 是 $1200.$ 的倍数。

The sum is a multiple of $200$ exactly when $k(k+1)(2k+1)$ is a multiple of $1200 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5^2.$ The factor $3$ always divides $k(k+1)(2k+1)$ (if $k \equiv 1 \pmod 3,$ then $3 \mid 2k+1$ ), so only $2^4$ and $5^2$ matter.

Since $2k+1$ is odd and $k,$ $k+1$ cannot both be even, $16$ must divide $k$ or $k+1,$ so $k \equiv 0$ or $15 \pmod{16}.$ Similarly $25$ must divide one of $k,$ $k+1,$ $2k+1,$ giving $k \equiv 0,$ $24,$ or $12 \pmod{25}.$ Combining each pair of congruences modulo $400,$ the smallest positive solutions are $112,$ $175,$ $224,$ $287,$ $399,$ and $400.$

The least is $k = 112:$ indeed $112 \cdot 113 \cdot 225$ $= (16 \cdot 7) \cdot 113 \cdot (9 \cdot 25)$ is a multiple of $1200.$

2002 AIME II 第 7 题

答案：112

难度评级：2500

解答：

其他年份的第 7 题