2024 AMC 8 Problema 14

Question

Las rutas de un solo sentido que conectan los pueblos

A,

M,

C,

X,

Y,

y

Z

se muestran en la figura de abajo (no está a escala). Las distancias en kilómetros a lo largo de cada ruta están marcadas. Viajando por estas rutas, ¿cuál es la distancia más corta de

A

a

Z

en kilómetros?

The one-way routes connecting towns

A,

M,

C,

X,

Y,

and

Z

are shown in the figure below (not drawn to scale). The distances in kilometers along each route are marked. Traveling along these routes, what is the shortest distance from

A

to

Z

in kilometers?

28

29

30

31

32

Respuesta: A

Conceptos:teoría de grafos

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Registra la distancia más corta de

A

a cada pueblo

Track the shortest distance from

A

to each town

Pista grande:

Una vez conocida la distancia más corta a un pueblo, úsala para actualizar las rutas que salen de él

Once a shortest distance to a town is known, use it to update outgoing routes

Solución en video:

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Solución escrita:

Una forma sistemática de rastrear la distancia total más corta hasta

Z

es considerar la distancia más corta para llegar a cada pueblo desde

A

. Por ejemplo, la distancia más corta para llegar al pueblo

X

desde

A

es

5

km, trivialmente.

Luego, para el pueblo

M

, ir primero al pueblo

X

es más corto que ir directamente desde

A

, así que el camino más corto al pueblo

M

tiene longitud

7

km.

Para el pueblo

Y

, nos toma

15

km si venimos del pueblo

X

y solo

13

km viniendo de

M,

así que

13

km es la longitud del camino más corto a

Y

desde

A

.

Haciendo lo mismo para el pueblo

C

obtenemos

18

km como la distancia más corta, viniendo del pueblo

Y

.

Finalmente, para el pueblo

Z

, podemos venir del pueblo

Y,

C,

o

M

. La distancia total si venimos de cada uno de los tres pueblos respectivamente sería

30,

28,

y

32

. Por lo tanto,

28

km es la distancia más corta de

A

a

Z

.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

A systematic way of tracking the shortest overall distance to

Z

is to consider the shortest distance to get to each town from

A

. For instance, the shortest distance to get to town

X

from

A

is

5

km, trivially.

Then, for town

M

, going to town

X

first will be shorter compared to going directly from

A

, so the shortest path to town

M

has a length of

7

km.

For town

Y

, it will take us

15

km if we come from town

X

and only

13

km coming from

M,

so

13

km is the length of shortest path to

Y

from

A

.

Doing the same for town

C

will give us

18

km as the shortest distance by coming from town

Y

.

Finally, for town

Z

, we can either come from town

Y,

C,

or

M

. The total distance if we come from each three towns respectively would be

30,

28,

and

32

. Hence,

28

km is the shortest distance from

A

to

Z

.

Thus, A is the correct answer.