2022 AMC 8 Problema 13

Question

¿Cuántos enteros positivos pueden llenar el espacio en blanco de la siguiente oración?

“Un entero positivo es ___ más que el doble de otro, y la suma de los dos números es

28

”

How many positive integers can fill the blank in the sentence below?

“One positive integer is ___ more than twice another, and the sum of the two numbers is

28

”

6

7

8

9

10

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Sea

x

el menor de los dos enteros positivos

Let the smaller of the two positive integers be

x

Pista grande:

Si el espacio en blanco es

c

, los dos números pueden ser

x

y

2x+c

If the blank is

c

, the two numbers can be

x

and

2x+c

Solución:

Sea

x

el número menor, y sea

c

el espacio en blanco. Entonces el otro número es

2x+c

, donde tanto

x

como

c

son enteros positivos.

La condición de la suma da

x+(2x+c)=28

, así que

c=28-3x

. Para que

c

sea positivo,

28-3x>0

, por lo que

x<\frac{28}{3}

.

Así,

x

puede ser cualquier entero de

1

a

9

, lo que da

9

valores posibles del espacio en blanco.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the smaller number be

x

, and let the blank be

c

. Then the other number is

2x+c

, where both

x

and

c

are positive integers.

The sum condition gives

x+(2x+c)=28

, so

c=28-3x

. For

c

to be positive,

28-3x>0

, so

x<\frac{28}{3}

.

Thus

x

can be any integer from

1

through

9

, giving

9

possible values of the blank.

Thus, the correct answer is D.