Question

¿Cuál es el valor del producto $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

What is the value of the product $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)? \end{align*}$

$\dfrac{7}{6}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{7}{2}$

$7$

$8$

Solución en video:

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Solución escrita:

Primero notemos que si tenemos una expresión de la forma $1 + \frac{1}{n},$ podemos reescribirla como $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ Con esto en mente, podemos reescribir la expresión dada en el problema, como se muestra a continuación: $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Así, la respuesta correcta es D.

Let's first note that if we are given an expression of the form $1 + \frac{1}{n},$ we can rewrite this as $\frac{n}{n} + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}.$ With that in mind, we can rewrite the expression given to us in the problem, as shown below: $\begin{align*} &\left(1+\frac{1}{1}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\\ &=\dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot\dfrac{5}{4} \cdot\dfrac{6}{5} \cdot\dfrac{7}{6}\\ &=7 \end{align*}$ Thus, the correct answer is D.

2018 AMC 8 Problema 2

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 2 en otros años