2015 AMC 8 Problema 16

Question

En un programa de mentoría de secundaria, algunos de los estudiantes de sexto grado están emparejados con un estudiante de noveno grado como compañero. A ningún estudiante de noveno grado se le asigna más de un compañero de sexto grado. Si

\dfrac{1}{3}

de todos los estudiantes de noveno grado están emparejados con

\dfrac{2}{5}

de todos los estudiantes de sexto grado, ¿qué fracción del número total de estudiantes de sexto y noveno grado tiene un compañero?

In a middle-school mentoring program, a number of the sixth graders are paired with a ninth-grade student as a buddy. No ninth grader is assigned more than one sixth-grade buddy. If

\dfrac{1}{3}

of all the ninth graders are paired with

\dfrac{2}{5}

of all the sixth graders, what fraction of the total number of sixth and ninth graders have a buddy?

\dfrac{2}{15}

\dfrac{4}{11}

\dfrac{11}{30}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{11}{15}

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Sean

s

y

n

los números de estudiantes de sexto y noveno grado

Let

s

and

n

be the numbers of sixth and ninth graders.

Pista grande:

Los estudiantes de sexto grado emparejados y los de noveno grado emparejados son el mismo número de parejas

The paired sixth graders and paired ninth graders are the same number of pairs.

Solución en video:

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Solución escrita:

Supongamos que hay

s

estudiantes de sexto grado y

n

de noveno grado. El número de estudiantes de noveno grado emparejados es igual al número de estudiantes de sexto grado emparejados, así que

\dfrac13 n=\dfrac25 s.

Esto da

5n=6s,

así que

n:s=6:5.

Por lo tanto, el número total de estudiantes es proporcional a

11

partes.

Los estudiantes de noveno grado emparejados constituyen

\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11}

de todos los estudiantes, y los de sexto grado emparejados constituyen

\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11}

de todos los estudiantes. En total,

\dfrac4{11}

de los estudiantes tienen un compañero.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let there be

s

sixth graders and

n

ninth graders. The number of paired ninth graders equals the number of paired sixth graders, so

\dfrac13 n=\dfrac25 s.

This gives

5n=6s,

so

n:s=6:5.

The total number of students is therefore proportional to

11

parts.

The paired ninth graders make up

\dfrac13\cdot\dfrac6{11}=\dfrac2{11}

of all students, and the paired sixth graders make up

\dfrac25\cdot\dfrac5{11}=\dfrac2{11}

of all students. Altogether,

\dfrac4{11}

of the students have a buddy.

Thus, B is the correct answer.