2014 AMC 8 Problema 13

Question

Si

n

y

m

son enteros y

n^2 + m^2

es par, ¿cuál de las siguientes opciones es imposible?

If

n

and

m

are integers and

n^2 + m^2

is even, which of the following is impossible?

n

y

m

son pares

n

and

m

are even

n

y

m

son impares

n

and

m

are odd

n + m

es par

n + m

is even

n + m

es impar

n + m

is odd

ninguna de estas es imposible

none of these are impossible

Respuesta: D

Conceptos:paridad

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Un cuadrado tiene la misma paridad que su entero base.

A square has the same parity as its base integer.

Pista grande:

Para que una suma de dos cuadrados sea par, los dos enteros tienen la misma paridad.

For a sum of two squares to be even, the two integers have the same parity.

Solución:

Como

n^2 + m^2

es par, o bien

n^2

y

m^2

son ambos impares, o ambos pares.

Si ambos son impares, entonces

n

y

m

son ambos impares. Si ambos son pares, entonces

n

y

m

son ambos pares. Si

n

y

m

son ambos impares o pares, su suma siempre será par.

Por lo tanto,

n + m

nunca es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

n^2 + m^2

is even, either

n^2

and

m^2

are both odd, or both even.

If they are both odd, then

n

and

m

are both odd. If they are both even, then

n

and

m

are both even. If

n

and

m

are both odd or even, their sum will always be even.

Therefore,

n + m

is never odd.

Thus, D is the correct answer.