2002 AMC 8 Problema 16

Question

Sobre los lados de un triángulo rectángulo

3-4-5

se construyen triángulos rectángulos isósceles, como se muestra. Una letra mayúscula representa el área de cada triángulo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

Right isosceles triangles are constructed on the sides of a

3-4-5

right triangle, as shown. A capital letter represents the area of each triangle. Which one of the following is true?

X + Z = W + Y

W + X = Z

3X + 4Y = 5Z

X + W = \dfrac{1}{2}(Y + Z)

X + Y = Z

Respuesta: E

Conceptos:Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Cada triángulo rectángulo isósceles tiene un área igual a la mitad del cuadrado del lado sobre el que está construido.

Each right isosceles triangle has area half the square of the side it is built on.

Pista grande:

Calcula las áreas sobre los lados

3,

4

y

5.

Compute the areas on the sides

3,

4,

and

5.

Solución:

Para un triángulo rectángulo isósceles construido sobre un lado de longitud

s,

los dos catetos tienen longitud

s,

así que su área es

\frac{s^2}{2}.

\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}

Estos valores satisfacen

X+Y=Z,

y las demás ecuaciones listadas no.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

For a right isosceles triangle built on a side of length

s,

the two legs have length

s,

so its area is

\frac{s^2}{2}.

\begin{aligned} &W=\frac{3\cdot4}{2}=6, \\ &\quad X=\frac{3^2}{2}=4.5, \\ &\quad Y=\frac{4^2}{2}=8, \\ &\quad Z=\frac{5^2}{2}=12.5. \end{aligned}

These values satisfy

X+Y=Z,

and the other listed equations do not.

Thus, E is the correct answer.