1997 AMC 8 Problema 15

Question

Cada lado del cuadrado grande de la figura está trisecado (dividido en tres partes iguales). Los vértices de un cuadrado inscrito están en estos puntos de trisección, como se muestra. La razón entre el área del cuadrado inscrito y el área del cuadrado grande es

Each side of the large square in the figure is trisected (divided into three equal parts). The corners of an inscribed square are at these trisection points, as shown. The ratio of the area of the inscribed square to the area of the large square is

\dfrac{\sqrt{3}}{3}

\dfrac{5}{9}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{\sqrt{5}}{3}

\dfrac{7}{9}

Respuesta: B

Conceptos:razón de áreas Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Usa el teorema de Pitágoras para el lado del cuadrado inscrito

Use the Pythagorean theorem for the inscribed square side

Pista grande:

Supón que el lado del cuadrado grande se divide en tres partes iguales

Let the large square side be split into three equal parts

Solución:

Sea

3x

la longitud del lado del cuadrado grande. Entonces podemos hallar el lado del cuadrado interior mediante

\sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}

usando el teorema de Pitágoras.

El área del cuadrado mayor es

(3x)^2 = 9x^2

y la del cuadrado interior es

(x\sqrt{5})^2 = 5x^2.

La razón entre las áreas es entonces

\dfrac{5}{9}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

3x

be the side length of the large square. Then we can find the side length of the inner square via

\sqrt{(2x)^2 + x^2} = \sqrt{5x^2} = x\sqrt{5}

from the Pythagorean Theorem.

The area of the larger square is

(3x)^2 = 9x^2

and that of the inner square is

(x\sqrt{5})^2 = 5x^2.

The ratio of the areas is then

\dfrac{5}{9}.

Thus, B is the correct answer.