Question

一个正四棱锥的体积为 $54$ ，底面边长为 $6$ 。这个棱锥的五个顶点都在一个半径为 $\frac{m}{n}$ 的球面上，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

A right square pyramid with volume $54$ has a base with side length $6.$ The five vertices of the pyramid all lie on a sphere with radius $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：21

知识点：棱锥球体积

难度评级：2110

解答：

底面积为 $36$ ，所以 $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ 给出高度 $h = \frac{9}{2}$ 。由对称性，球心在棱锥的轴线上，设其在底面上方的高度为 $z$ 。每个底面顶点到轴线的距离为 $3\sqrt{2}$ ，所以球心到底面顶点的距离为 $\sqrt{z^2 + 18}$ ，而它到顶点的距离为 $\frac{9}{2} - z$ 。

令 $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ ，得到 $\frac{81}{4} - 9z = 18$ ，所以 $z = \frac{1}{4}$ 半径为 $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ ，因此 $m + n = 17 + 4 = 21$ 。

The base has area $36,$ so $\frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h = 54$ gives height $h = \frac{9}{2}.$ By symmetry the sphere's center lies on the pyramid's axis, say at height $z$ above the base. Each base vertex is at distance $3\sqrt{2}$ from the axis, so the center's distance to a base vertex is $\sqrt{z^2 + 18},$ while its distance to the apex is $\frac{9}{2} - z.$

Setting $\left(\frac{9}{2} - z\right)^2 = z^2 + 18$ gives $\frac{81}{4} - 9z = 18,$ so $z = \frac{1}{4}.$ The radius is $\frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{17}{4},$ and $m + n = 17 + 4 = 21.$

2022 AIME II 第 3 题

答案：21

难度评级：2110

解答：

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