Question

求闭区间 $[-500, 500]$ 中整数 $k$ 的个数，使得方程 $\log(kx) = 2\log(x + 2)$ 恰好有一个实数解。

Find the number of integer values of $k$ in the closed interval $[-500, 500]$ for which the equation $\log(kx) = 2\log(x + 2)$ has exactly one real solution.

答案

答案：501

知识点：对数二次方程分类讨论

难度评级：2740

解答：

方程要求 $x + 2 \gt 0$ 且 $kx \gt 0$ ，在这些限制下它等价于 $kx = (x + 2)^2$ ，也就是 $x^2 + (4 - k)x + 4 = 0$ 。

当 $k \lt 0$ 时，限制条件迫使 $-2 \lt x \lt 0$ 。在这个区间上， $kx$ 从 $-2k \gt 0$ 下降到 $0$ ，而 $(x + 2)^2$ 从 $0$ 增加到 $4$ ，所以两图像恰好相交一次。因此 $500$ 个负的 $k$ 全部满足条件，而 $k = 0$ 会使 $\log(kx)$ 无定义。

当 $k \gt 0$ 时，限制条件迫使 $x \gt 0$ 。二次方程的根的乘积为 $4$ ，所以若有实根，两根同号；判别式 $(4 - k)^2 - 16 = k(k - 8)$ 在 $0 \lt k \lt 8$ 时为负。当 $k \gt 8$ 时，有两个不同的正根（根和 $k - 4 \gt 0$ ），给出两个解；只有 $k = 8$ 给出恰好一个解，即重根 $x = 2$ 。总共有 $500 + 1 = 501$ 个 $k$ 满足条件。

The equation requires $x + 2 \gt 0$ and $kx \gt 0,$ and under those restrictions it is equivalent to $kx = (x + 2)^2,$ that is, $x^2 + (4 - k)x + 4 = 0.$

For $k \lt 0$ the restrictions force $-2 \lt x \lt 0.$ On this interval $kx$ decreases from $-2k \gt 0$ to $0$ while $(x + 2)^2$ increases from $0$ to $4,$ so the graphs cross exactly once. Hence every one of the $500$ negative values of $k$ works, while $k = 0$ makes $\log(kx)$ undefined.

For $k \gt 0$ the restrictions force $x \gt 0.$ The quadratic has root product $4,$ so any real roots have the same sign, and the discriminant $(4 - k)^2 - 16 = k(k - 8)$ is negative for $0 \lt k \lt 8.$ When $k \gt 8$ there are two distinct positive roots (root sum $k - 4 \gt 0$ ), giving two solutions; only $k = 8$ gives exactly one solution, the double root $x = 2.$ In total $500 + 1 = 501$ values of $k$ work.

2017 AIME II 第 7 题

答案：501

难度评级：2740

解答：

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