Question

设实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足方程组 $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ 求 $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|$ 的值。

Let $x,$ $y,$ and $z$ be real numbers satisfying the system $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ Find the value of $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|.$

答案

答案：265

知识点：对数方程组换元法

难度评级：2300

解答：

对每个方程取指数得 $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ ，另外两个方程同理，所以 $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ 令 $x = 5^a$ 、 $y = 5^b$ 、 $z = 5^c$ ，则 $xyz = 5^{a+b+c}$ 。

三个方程相加得 $3 \cdot 5^s + s = 378$ ，其中 $s = a + b + c$ 。左边是关于 $s$ 的严格递增函数，且 $s = 3$ 可行，因为 $375 + 3 = 378$ ，所以 $s = 3$ ，并且 $5^s = 125$ 。

于是 $a = 35 - 125 = -90$ ， $b = 84 - 125 = -41$ ， $c = 259 - 125 = 134$ ，所以 $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265$ 。

Exponentiating each equation gives $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ and similarly for the others, so $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ Write $x = 5^a,$ $y = 5^b,$ $z = 5^c,$ so that $xyz = 5^{a+b+c}.$

Adding the three equations gives $3 \cdot 5^s + s = 378,$ where $s = a + b + c.$ The left side is strictly increasing in $s,$ and $s = 3$ works since $375 + 3 = 378,$ so $s = 3$ and $5^s = 125.$

Then $a = 35 - 125 = -90,$ $b = 84 - 125 = -41,$ and $c = 259 - 125 = 134,$ so $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265.$

2016 AIME II 第 3 题

答案：265

难度评级：2300

解答：

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