Question

在下图中， $ABCD$ 是正方形。点 $E$ 是 $\overline{AD}$ 的中点。点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{CE}$ 上，点 $H$ 和 $J$ 分别在 $\overline{AB}$ 与 $\overline{BC}$ 上，使得 $FGHJ$ 是正方形。点 $K$ 与 $L$ 在 $\overline{GH}$ 上，点 $M$ 与 $N$ 分别在 $\overline{AD}$ 与 $\overline{AB}$ 上，使得 $KLMN$ 是正方形。 $KLMN$ 的面积为 $99$ 。求 $FGHJ$ 的面积。

In the diagram below, $ABCD$ is a square. Point $E$ is the midpoint of $\overline{AD}.$ Points $F$ and $G$ lie on $\overline{CE},$ and $H$ and $J$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively, so that $FGHJ$ is a square. Points $K$ and $L$ lie on $\overline{GH},$ and $M$ and $N$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{AB},$ respectively, so that $KLMN$ is a square. The area of $KLMN$ is $99.$ Find the area of $FGHJ.$

答案

答案：539

知识点：相似正方形（几何）直角三角形

难度评级：2710

解答：

设 $AE = s$ ，则大正方形边长为 $2s$ ，且 $CE = s\sqrt{5}$ 。直角三角形 $CDE$ 、 $JFC$ 、 $HBJ$ 、 $NKH$ ，和 $MAN$ 都相似，直角边比为 $1 : 2$ 。设 $FGHJ$ 的边长为 $x$ 。在 $\triangle HBJ$ 中，斜边为 $HJ = x$ ，所以 $BJ = \frac{x}{\sqrt{5}}$ ， $HB = \frac{2x}{\sqrt{5}}$ ；在 $\triangle JFC$ 中，较长直角边为 $JF = x$ ，所以斜边 $JC = \frac{x\sqrt{5}}{2}$ 。于是 $\begin{aligned} 2s = BC &= BJ + JC \\ &= x\left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \\ &= \frac{7x}{2\sqrt{5}}, \end{aligned}$ 所以 $x = \frac{4\sqrt{5}\,s}{7}$ 。

接着， $AH = 2s - HB = 2s - \frac{8s}{7}$ $= \frac{6s}{7}$ 。对边长为 $y$ 的正方形 $KLMN$ ，沿 $\overline{AB}$ 作同样的分解得到 $\frac{6s}{7} = AH = AN + NH$ $= y\left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$ 。两式相除，得 $\frac{x}{y} = \frac{2s}{6s/7} = \frac{7}{3}$ 。

因此面积比为 $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9}$ ，所以 $FGHJ$ 的面积为 $99 \cdot \frac{49}{9} = 539$ 。

Let $AE = s,$ so the big square has side $2s$ and $CE = s\sqrt{5}.$ The right triangles $CDE,$ $JFC,$ $HBJ,$ $NKH,$ and $MAN$ are all similar, with legs in ratio $1 : 2.$ Let $x$ be the side of $FGHJ.$ In $\triangle HBJ$ the hypotenuse is $HJ = x,$ so $BJ = \frac{x}{\sqrt{5}}$ and $HB = \frac{2x}{\sqrt{5}};$ in $\triangle JFC$ the longer leg is $JF = x,$ so the hypotenuse is $JC = \frac{x\sqrt{5}}{2}.$ Then $\begin{aligned} 2s = BC &= BJ + JC \\ &= x\left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \\ &= \frac{7x}{2\sqrt{5}}, \end{aligned}$ so $x = \frac{4\sqrt{5}\,s}{7}.$

Next, $AH = 2s - HB = 2s - \frac{8s}{7}$ $= \frac{6s}{7}.$ The identical decomposition along $\overline{AB}$ for the square $KLMN$ of side $y$ gives $\frac{6s}{7} = AH = AN + NH$ $= y\left(\frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}}{2}\right).$ Dividing the two equations, $\frac{x}{y} = \frac{2s}{6s/7} = \frac{7}{3}.$

The areas are therefore in ratio $\left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9},$ so the area of $FGHJ$ is $99 \cdot \frac{49}{9} = 539.$

2015 AIME I 第 7 题

答案：539

难度评级：2710

解答：

其他年份的第 7 题