Question

一个长方体的宽为 $12$ 英寸，长为 $16$ 英寸，高为 $\frac{m}{n}$ 英寸，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。长方体的三个面相交于同一个顶点。这三个面的中心点作为顶点形成一个面积为 $30$ 平方英寸的三角形。求 $m + n$ 。

A rectangular box has width $12$ inches, length $16$ inches, and height $\frac{m}{n}$ inches, where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Three faces of the box meet at a corner of the box. The center points of those three faces are the vertices of a triangle with an area of $30$ square inches. Find $m + n.$

答案

答案：41

知识点：立体几何向量三角形面积

难度评级：2560

解答：

设高为 $h$ ，把公共顶点放在原点，所以长方体为 $[0,12] \times [0,16] \times [0,h]$ 。与原点相交的三个面中心为 $P = (6, 8, 0)$ 、 $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right)$ 、 $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ 。

于是 $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ ， $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right)$ ，它们的叉积为 $(4h, 3h, 48)$ 。面积为所以 $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ ，且 $h = \frac{36}{5}$ 。 $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$

因此 $m + n = 36 + 5 = 41$ 。

Let the height be $h$ and place the corner at the origin, so the box is $[0,12] \times [0,16] \times [0,h].$ The three faces meeting at the origin have centers $P = (6, 8, 0),$ $Q = \left(0, 8, \tfrac{h}{2}\right),$ and $R = \left(6, 0, \tfrac{h}{2}\right).$

Then $\overrightarrow{PQ} = \left(-6, 0, \tfrac{h}{2}\right)$ and $\overrightarrow{PR} = \left(0, -8, \tfrac{h}{2}\right),$ whose cross product is $(4h, 3h, 48).$ The area is $\begin{aligned} &\frac{1}{2}\sqrt{16h^2 + 9h^2 + 48^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{25h^2 + 2304} \\ &= 30, \end{aligned}$ so $25h^2 = 3600 - 2304 = 1296$ and $h = \frac{36}{5}.$

Therefore $m + n = 36 + 5 = 41.$

2013 AIME I 第 7 题

答案：41

难度评级：2560

解答：

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