2007 AIME II 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

给定实数

x

，令

\lfloor x \rfloor

表示小于或等于

x

的最大整数。对某个整数

k

，恰好有

70

个正整数

n_1

、

n_2

、

\ldots

、

n_{70}

满足

\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}

并且

k

整除

n_i

，对所有满足

1 \le i \le 70

的

i

都成立。求

\frac{n_i}{k}

在

1 \le i \le 70

时的最大值。

Given a real number

x,

let

\lfloor x \rfloor

denote the greatest integer less than or equal to

x.

For a certain integer

k,

there are exactly

70

positive integers

n_1,

n_2,

\ldots,

n_{70}

such that

\begin{aligned} k &= \lfloor\sqrt[3]{n_1}\rfloor = \lfloor\sqrt[3]{n_2}\rfloor \\ &= \cdots = \lfloor\sqrt[3]{n_{70}}\rfloor \end{aligned}

and

k

divides

n_i

for all

i

such that

1 \le i \le 70.

Find the maximum value of

\frac{n_i}{k}

for

1 \le i \le 70.

答案

答案：553

知识点：取整函数倍数区间内整数计数

难度评级：2510

小提示：

\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k

表示

k^3 \le n \lt k^3 + 3k^2 + 3k + 1

；数出这个范围内

k

的倍数。

\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k

means

k^3 \le n \lt k^3 + 3k^2 + 3k + 1;

count the multiples of

k

in that range

大提示：

这样的倍数有

3k + 4

个，所以解

3k + 4 = 70

，再取最大的倍数。

There are

3k + 4

such multiples, so solve

3k + 4 = 70,

then take the largest multiple

解答：

条件

\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k

表示

k^3 \le n \lt (k+1)^3

= k^3 + 3k^2 + 3k + 1

。这个范围内

k

的倍数为

k \cdot k^2

、

k(k^2 + 1)

、

\ldots

、

k(k^2 + 3k + 3)

，所以恰好有

3k + 4

个。

令

3k + 4 = 70

，得

k = 22

。

\frac{n_i}{k}

的最大值为

k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3

= 553

。

The condition

\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor = k

means

k^3 \le n \lt (k+1)^3

= k^3 + 3k^2 + 3k + 1.

The multiples of

k

in this range are

k \cdot k^2,

k(k^2 + 1),

\ldots,

k(k^2 + 3k + 3),

so there are exactly

3k + 4

of them.

Setting

3k + 4 = 70

gives

k = 22.

The maximum of

\frac{n_i}{k}

is

k^2 + 3k + 3 = 484 + 66 + 3

= 553.