Question

求正整数有序对 $(a, b)$ 的个数，使得 $a + b = 1000$ ，并且 $a$ 和 $b$ 的十进制表示中都不含数字零。

Find the number of ordered pairs of positive integers $(a, b)$ such that $a + b = 1000$ and neither $a$ nor $b$ has a zero digit.

答案

答案：738

知识点：数字补集计数分类讨论

难度评级：2510

解答：

总共有 $999$ 个数对（ $a = 1, \ldots, 999$ ）；数其中不合格的。若 $a$ 的个位为 $0$ ，则 $b$ 的个位也为零，写成 $a = 10r$ ， $b = 10s$ 得到 $r + s = 100$ ，且 $1 \le r \le 99$ ：共有 $99$ 个不合格数对。

现在假设两个数的个位都非零。此时一个数含有零数字，当且仅当它是形如 $h0u$ 的三位数，其中 $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ （个位非零的一位数或两位数没有零数字）。若 $a = h0u$ ，则 $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ 的十位为 $9$ ，所以 $b$ 不会也是这种形式。因此这里的不合格数对正好是 $a, b$ 中恰有一个等于 $h0u$ ：共有 $81 + 81 = 162$ 个。

不合格数对总数为 $99 + 162 = 261$ ，所以答案是 $999 - 261 = 738$ 。

There are $999$ pairs in all ( $a = 1, \ldots, 999$ ); count the forbidden ones. If $a$ has units digit $0,$ so does $b,$ and writing $a = 10r,$ $b = 10s$ gives $r + s = 100$ with $1 \le r \le 99:$ that is $99$ forbidden pairs.

Now suppose both units digits are nonzero. Then a number in the pair has a zero digit exactly when it is a three-digit number of the form $h0u$ with $h, u \in \{1, \ldots, 9\}$ (a one- or two-digit number with nonzero units digit has no zero digit). If $a = h0u,$ then $b = 1000 - a$ $= 100(9 - h) + 90$ $+ (10 - u)$ has tens digit $9,$ so $b$ is not also of that form. Hence the forbidden pairs here are those where exactly one of $a, b$ equals $h0u:$ $81 + 81 = 162$ pairs.

The total number of forbidden pairs is $99 + 162 = 261,$ so the answer is $999 - 261 = 738.$

2006 AIME II 第 7 题

答案：738

难度评级：2510

解答：

其他年份的第 7 题