Question

求最小的正整数，使得删去它最左边的数字后，所得整数是原整数的 $\frac{1}{29}$ 。

Find the least positive integer such that when its leftmost digit is deleted, the resulting integer is $\frac{1}{29}$ of the original integer.

答案

答案：725

知识点：数字位值整除性

难度评级：2020

解答：

设 $d$ 为最左边的数字， $n$ 为删去它后剩下的整数，则原整数为 $d \cdot 10^p + n$ ，其中 $p$ 为某个正整数。条件给出 $d \cdot 10^p + n = 29n$ ，所以 $d \cdot 10^p = 28n$ 。

因为 $7 \mid 28n$ 但 $7 \nmid 10^p$ ，数字 $d$ 必须是 $7$ 的倍数，所以 $d = 7$ 。于是 $10^p = 4n$ ，得 $n = 25 \cdot 10^{p-2}$ ，这要求 $p \ge 2$ 。最小情形为 $p = 2$ ， $n = 25$ 。

最小的这样的整数是 $725$ ，且确实有 $725 = 29 \cdot 25$ 。

Let $d$ be the leftmost digit and $n$ the integer that remains after deleting it, so the original integer is $d \cdot 10^p + n$ for some positive integer $p.$ The condition says $d \cdot 10^p + n = 29n,$ so $d \cdot 10^p = 28n.$

Since $7 \mid 28n$ but $7 \nmid 10^p,$ the digit $d$ must be a multiple of $7,$ so $d = 7.$ Then $10^p = 4n,$ giving $n = 25 \cdot 10^{p-2},$ which requires $p \ge 2.$ The smallest case is $p = 2,$ $n = 25.$

The least such integer is $725,$ and indeed $725 = 29 \cdot 25.$

2006 AIME I 第 3 题

答案：725

难度评级：2020

解答：

其他年份的第 3 题