Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB=9$ ，且 $BC:AC=40:41$ 。这个三角形的最大面积是多少？

Triangle $ABC$ has $AB=9$ and $BC:AC=40:41.$ What’s the largest area that this triangle can have?

答案

答案：820

知识点：三角形面积余弦定理最优化

难度评级：2510

小提示：

令 $BC=40t$ 、 $AC=41t$ ，并结合 $AB=9$ 使用余弦定理

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and use the Law of Cosines with $AB=9$

大提示：

将面积表示为 $\cos C$ 的函数，并使其平方最大

Express the area as a function of $\cos C$ and maximize its square

解答：

令 $BC=40t$ 、 $AC=41t$ ，并令 $x=\cos C$ 。由余弦定理可得 $81=t^2(3281-3280x)\text{，}$ 而面积为 $820t^2\sqrt{1-x^2}$ 。因此面积等于 $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}\text{。}$ 对其对数求导可知，当 $x=\frac{3280}{3281}$ 时取得最大值。此时 $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ ，且 $3281-3280x=\frac{6561}{3281}$ ，所以最大面积为 $820$ 。

Set $BC=40t,$ $AC=41t,$ and $x=\cos C.$ The Law of Cosines gives $81=t^2(3281-3280x),$ while the area is $820t^2\sqrt{1-x^2}.$ Hence it equals $820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.$ Differentiating its logarithm shows the maximum occurs at $x=\frac{3280}{3281}.$ Then $\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}$ and $3281-3280x=\frac{6561}{3281},$ so the maximum area is $820.$

1992 AIME 第 13 题

答案：820

难度评级：2510

小提示：

大提示：

解答：

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