2023 AMC 8 Problema 21

Question

Alina escribe los números

1,

2,

\cdots,

9

en tarjetas separadas, un número por tarjeta. Desea dividir las tarjetas en

3

grupos de

3

tarjetas de modo que la suma de los números en cada grupo sea la misma. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

Alina writes the numbers

1,

2,

\cdots,

9

on separate cards, one number per card. She wishes to divide the cards into

3

groups of

3

cards so that the sum of the numbers in each group will be the same. In how many ways can this be done?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:particiones y composiciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Cada grupo debe tener suma

15

Each group must have sum

15

Pista grande:

Observa el grupo que contiene el

9

Look at the group containing

9

Solución en video:

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Solución escrita:

La suma de todos los números es

\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.

Esto significa que la suma de cada grupo es

45 \div 3 = 15.

Considera el grupo que contiene el

9

. Los otros dos números deben sumar

6.

Por lo tanto, las otras tarjetas de este grupo son

1

y

5

, o

2

y

4.

Caso $1:$ Un grupo es

1,

5,

y

9.

Considera el grupo que contiene el

8

. Los otros números deben sumar

7.

La única opción es

3

y

4

con las tarjetas restantes.

El otro grupo es entonces

2,

6,

y

7.

Esto suma

15,

así que este caso aporta una posibilidad.

Caso $2:$ Un grupo es

2,

4,

y

9.

Considera el grupo que contiene el

8

. Como antes, los otros números deben sumar

7.

La única opción es

1

y

6.

El grupo final es

3,

5,

y

7,

que suma

15.

Esta es otra configuración.

Hemos revisado todos los casos, lo que reveló que solo hay

2

agrupaciones posibles.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers is

\dfrac{9 \cdot 10}{2} = 45.

This means that the sum of each group is

45 \div 3 = 15.

Consider the group with

9

in it. The other two numbers must add to

6.

Therefore, the other cards in this group are

1

and

5

or

2

and

4.

Case $1:$ One group is

1,

5,

and

9.

Consider the group with

8

in it. The other numbers must add to

7.

The only option is

3

and

4

with the remaining cards.

The other group is then

2,

6,

and

7.

This adds to

15,

so this case contributes one possibility.

Case $2:$ One group is

2,

4,

and

9.

Consider the group with

8

in it. As above, the other numbers have to add to

7.

The only option is

1

and

6.

The final group is

3,

5,

and

7,

which adds to

15.

This is another configuration.

We have gone through all the cases, which revealed that there are only

2

possible groupings.

Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 8 Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años