Question

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos tienen residuo $2$ al dividirse entre $6,$ residuo $5$ al dividirse entre 9, y residuo $7$ al dividirse entre $11$ ?

How many positive three-digit integers have a remainder of $2$ when divided by $6,$ a remainder of $5$ when divided by 9, and a remainder of $7$ when divided by $11?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: E

Conceptos:Teorema chino del resto mínimo común múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1490

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada residuo pedido es $4$ menos que su divisor, así que $x+4$ debe ser divisible por $6,9,$ y $11$ . Por consiguiente, $x+4$ es múltiplo de $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

Para un número $x$ de tres cifras, tenemos $104\le x+4\le1003$ . Los múltiplos de $198$ en este intervalo son $198,396,594,792,990$ , lo que da $5$ enteros posibles.

Así, E es la respuesta correcta.

Each required remainder is $4$ less than its divisor, so $x+4$ must be divisible by $6,9,$ and $11$ . Hence $x+4$ is a multiple of $\operatorname{lcm}(6,9,11)=198.$

For a three-digit $x$ , we have $104\le x+4\le1003$ . The multiples of $198$ in this interval are $198,396,594,792,990$ , giving $5$ possible integers.

Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 8 Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1490

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Solución escrita:

El Problema 21 en otros años