2017 AMC 8 Problema 21

Question

Supón que

a,

b,

y

c

son números reales distintos de cero, y

a+b+c=0.

¿Cuáles son los valores posibles de

\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?

Suppose

a,

b,

and

c

are nonzero real numbers, and

a+b+c=0.

What are the possible value(s) for

\dfrac{a}{|a|}+\dfrac{b}{|b|}+\dfrac{c}{|c|}+\dfrac{abc}{|abc|}?

0

1

y

-1

1

and

-1

2

y

-2

2

and

-2

0

,

2

y

-2

0

,

2

, and

-2

0

,

1

y

-1

0

,

1

, and

-1

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto análisis por casos

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Como

a+b+c=0

, los tres números no pueden tener todos el mismo signo.

Because

a+b+c=0

, the three numbers cannot all have the same sign.

Pista grande:

Cada fracción

\dfrac{x}{|x|}

es simplemente el signo de

x

.

Each fraction

\dfrac{x}{|x|}

is just the sign of

x

.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como

a+b+c=0

y ninguno de los números es cero, sus signos son dos positivos y uno negativo, o dos negativos y uno positivo. En el primer caso, las tres primeras fracciones de signo suman

1

, mientras que

\dfrac{abc}{|abc|}=-1

. En el segundo, las tres primeras suman

-1

, mientras que

\dfrac{abc}{|abc|}=1

. En ambos casos, la expresión completa vale

0

.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Because

a+b+c=0

and none of the numbers is zero, their signs are either two positive and one negative or two negative and one positive. In the first case, the first three sign fractions sum to

1

, while

\dfrac{abc}{|abc|}=-1

. In the second case, the first three sum to

-1