2014 AMC 8 Problema 15

Question

La circunferencia del círculo con centro

O

se divide en

12

arcos iguales, marcados con las letras

A

hasta

L

como se ve abajo. ¿Cuál es el número de grados en la suma de los ángulos

x

y

y

?

The circumference of the circle with center

O

is divided into

12

equal arcs, marked the letters

A

through

L

as seen below. What is the number of degrees in the sum of the angles

x

and

y?

75

80

90

120

150

Respuesta: C

Conceptos:arco triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Cada par de letras adyacentes recorta

30^\circ

en el centro.

Each adjacent pair of letters cuts off

30^\circ

at the center.

Pista grande:

Los dos triángulos relevantes son isósceles porque sus lados son radios.

The two relevant triangles are isosceles because their sides are radii.

Solución:

Observa que cada uno de los

12

arcos divide el círculo por igual, así que cada uno cubre

\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}.

\angle AOE

abarca

4

de estos arcos, así que

\angle AOE = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}.

De manera similar,

\angle GOI = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}.

También sabemos que ambos triángulos son isósceles ya que dos de sus lados son radios. Por lo tanto,

x = \dfrac{180 - 120}{2} = 30^{\circ}

y

y = \dfrac{180 - 60}{2} = 60^{\circ}.

Por lo tanto,

x + y = 90^{\circ}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Note that each of the

12

arcs splits the circle evenly, so they each cover

\frac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}.

\angle AOE

spans

4

of these arcs, so

\angle AOE = 4 \cdot 30^{\circ} = 120^{\circ}.

Similarly,

\angle GOI = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}.

We also know that both triangles are isosceles since two of their sides are radii. Therefore,

x = \dfrac{180 - 120}{2} = 30^{\circ}

and

y = \dfrac{180 - 60}{2} = 60^{\circ}.

Therefore,

x + y = 90^{\circ}.

Thus, C is the correct answer.