2007 AMC 8 Problema 16

Question

Amanda Reckonwith dibuja cinco círculos con radios

1,

2,

3,

4

y

5.

Luego, para cada círculo, marca el punto

(C, A),

donde

C

es su circunferencia y

A

es su área. ¿Cuál de las siguientes podría ser su gráfica?

Amanda Reckonwith draws five circles with radii

1,

2,

3,

4

and

5.

Then for each circle she plots the point

(C, A),

where

C

is its circumference and

A

is its area. Which of the following could be her graph?

Respuesta: A

Conceptos:área del círculo circunferencia cuadrática

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Escribe la circunferencia y el área en términos del radio

Write circumference and area in terms of the radius.

Pista grande:

Como la circunferencia crece linealmente con el radio, el área crece cuadráticamente

As the circumference grows linearly with radius, the area grows quadratically.

Solución:

Las circunferencias de los círculos con radios

1

a

5

son

2\pi,

4\pi,

6\pi,

8\pi,

y

10\pi

. Sus áreas respectivas son

\pi,

4\pi,

9\pi,

16\pi,

y

25\pi

.

A medida que

C

aumenta en cantidades iguales,

A

aumenta cada vez más rápido, así que los puntos forman un patrón cuadrático creciente. Solo la gráfica A tiene esa forma.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The circumferences of circles with radii

1

through

5

are

2\pi,

4\pi,

6\pi,

8\pi,

and

10\pi

. Their respective areas are

\pi,

4\pi,

9\pi,

16\pi,

and

25\pi

.

As

C

increases by equal amounts,

A

increases more and more quickly, so the points form an increasing quadratic pattern. Only graph A has that shape.

Thus, A is the correct answer.