Question

Hay un conjunto de cinco enteros positivos cuyo promedio (media) es $5,$ cuya mediana es $5,$ y cuya única moda es $8.$ ¿Cuál es la diferencia entre el entero mayor y el menor del conjunto?

There is a set of five positive integers whose average (mean) is $5,$ whose median is $5,$ and whose only mode is $8.$ What is the difference between the largest and smallest integers in the set?

$3$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: D

Conceptos:media mediana (datos)moda

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

La suma de todos los números de la lista es $5 \cdot 5 = 25.$

En orden creciente, el número central es $5$ . Como $8$ es la única moda, los dos últimos números deben ser $8$ ; no puede haber tres $8$ , pues entonces la mediana sería $8$ .

Estos tres números conocidos suman $5 + 8 + 8 = 21,$ así que los dos números menores deben sumar $25 - 21 = 4.$ Deben ser enteros positivos distintos; de otro modo, otro valor empataría con $8$ como moda. Por tanto, son $1$ y $3$ .

La diferencia buscada es entonces $8 - 1 = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The sum of all the numbers in the list is $5 \cdot 5 = 25.$

In increasing order, the middle number is $5$ . Because $8$ is the only mode, the last two numbers must both be $8$ ; there cannot be three $8$ s, since then the median would be $8$ .

These three known numbers sum to $5 + 8 + 8 = 21,$ so the two smaller numbers must add to $25 - 21 = 4.$ They must be distinct positive integers; otherwise a second value would tie $8$ as a mode. Thus they are $1$ and $3$ .

The desired difference is then $8 - 1 = 7.$

Thus, D is the correct answer.

1997 AMC 8 Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El Problema 14 en otros años