Question

对正整数 $n$ ，令 $d_n$ 为 $1 + 2 + 3 + \cdots + n$ 的个位数字。求 $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ 除以 $1000$ 的余数。

For a positive integer $n,$ let $d_n$ be the units digit of $1 + 2 + 3 + \cdots + n.$ Find the remainder when $\sum_{n=1}^{2017} d_n$ is divided by $1000.$

答案

答案：69

知识点：三角形数个位数字找规律

难度评级：2300

解答：

这里 $d_n$ 是三角数 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的个位数字。因为 $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ 是 $10$ 的倍数，所以序列 $d_n$ 以 $20$ 为周期。计算一个周期： $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ 它们的和为 $70$ 。

因为 $2017 = 100 \cdot 20 + 17$ ，总和等于 $100 \cdot 70$ 加上周期前 $17$ 项的和，而前十七项之和为 $70 - (1 + 0 + 0) = 69$ 。总和为 $7069$ ，所以余数为 $69$ 。

Here $d_n$ is the units digit of the triangular number $\frac{n(n+1)}{2}.$ Since $\frac{(n+20)(n+21)}{2}$ $- \frac{n(n+1)}{2} = 20n + 210$ is a multiple of $10,$ the sequence $d_n$ is periodic with period $20.$ Computing one period, $\begin{aligned} &(d_1, d_2, \ldots, d_{20}) \\ &\quad \tiny = (1, 3, 6, 0, 5, 1, 8, 6, 5, 5, 6, 8, 1, 5, 0, 6, 3, 1, 0, 0), \end{aligned}$ which sums to $70.$

Since $2017 = 100 \cdot 20 + 17,$ the total is $100 \cdot 70$ plus the first $17$ terms of the period, which sum to $70 - (1 + 0 + 0) = 69.$ The sum is $7069,$ so the remainder is $69.$

2017 AIME I 第 3 题

答案：69

难度评级：2300

解答：

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