Question

设 $ABCD$ 是正方形， $E$ 和 $F$ 分别是 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 上的点。过 $E$ 作平行于 $\overline{BC}$ 的直线，过 $F$ 作平行于 $\overline{AB}$ 的直线，将 $ABCD$ 分成两个正方形和两个非正方形的长方形。两个正方形面积之和是正方形 $ABCD$ 面积的 $\frac{9}{10}$ 。求 $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}$ 。

Let $ABCD$ be a square, and let $E$ and $F$ be points on $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ respectively. The line through $E$ parallel to $\overline{BC}$ and the line through $F$ parallel to $\overline{AB}$ divide $ABCD$ into two squares and two nonsquare rectangles. The sum of the areas of the two squares is $\frac{9}{10}$ of the area of square $ABCD.$ Find $\frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE}.$

答案

答案：18

知识点：代数变形正方形（几何）比与比例

难度评级：2020

解答：

设 $AE = x$ ， $EB = y$ ，则大正方形边长为 $x + y$ ，两个小正方形边长为 $x$ 和 $y$ 。条件给出两边乘以 $10$ 并展开，得到 $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2$ ，所以 $x^2 + y^2 = 18xy$ 。 $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$

两边除以 $xy$ ，得到 $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

Let $AE = x$ and $EB = y,$ so the square has side $x + y$ and the two smaller squares have sides $x$ and $y.$ The condition says $x^2 + y^2 = \frac{9}{10}(x + y)^2.$ Multiplying by $10$ and expanding, $10x^2 + 10y^2$ $= 9x^2 + 18xy + 9y^2,$ so $x^2 + y^2 = 18xy.$

Dividing by $xy$ gives $\begin{aligned} \frac{AE}{EB} + \frac{EB}{AE} &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ &= \frac{x^2 + y^2}{xy} = 18. \end{aligned}$

2013 AIME I 第 3 题

答案：18

难度评级：2020

解答：

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