Question

三角形 $AB_0C_0$ 的边长为 $AB_0 = 12$ 、 $B_0C_0 = 17$ 、 $C_0A = 25$ 。对每个正整数 $n$ ，点 $B_n$ 和 $C_n$ 分别位于 $\overline{AB_{n-1}}$ 和 $\overline{AC_{n-1}}$ 上，并形成三个相似三角形： $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}$ 。所有三角形 $B_{n-1}C_nB_n$ （其中 $n \ge 1$ ）的并集面积可表示为 $\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是互质正整数。求 $q$ 。

Triangle $AB_0C_0$ has side lengths $AB_0 = 12,$ $B_0C_0 = 17,$ and $C_0A = 25.$ For each positive integer $n,$ points $B_n$ and $C_n$ are located on $\overline{AB_{n-1}}$ and $\overline{AC_{n-1}},$ respectively, creating three similar triangles $\triangle AB_nC_n \sim \triangle B_{n-1}C_nC_{n-1}$ $\sim \triangle AB_{n-1}C_{n-1}.$ The area of the union of all triangles $B_{n-1}C_nB_n$ for $n \ge 1$ can be expressed as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $q.$

答案

答案：961

知识点：相似等比数列海伦公式递推

难度评级：3160

解答：

由海伦公式，半周长 $s = 27$ ，所以 $\triangle AB_0C_0$ 的面积为 $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90$ 。在相似关系 $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0$ 中，边 $B_0C_0$ 对应 $AC_0$ ，所以相似比为 $r = \frac{17}{25}$ ，且 $C_1C_0$ （对应 $B_0C_0$ ）等于 $17r$ 。于是这就是 $\triangle AB_1C_1$ 相对于 $\triangle AB_0C_0$ 的相似比。 $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$

线段 $\overline{B_1C_1}$ 和 $\overline{B_0C_1}$ 将 $\triangle AB_0C_0$ 分成三个部分，所以之后每一步都在 $\triangle AB_nC_n$ 中重复同样构造，所有面积都按 $(1 - r^2)^2$ 缩放，且这些三角形 $B_{n-1}C_nB_n$ 的内部互不重叠。 $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$

并集面积为等比级数因为 $961 = 31^2$ 与 $90 \cdot 336 = 30240$ 没有公因数，所以答案是 $q = 961$ 。 $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$

By Heron's formula with $s = 27,$ the area of $\triangle AB_0C_0$ is $\sqrt{27 \cdot 15 \cdot 10 \cdot 2} = 90.$ In the similarity $\triangle B_0C_1C_0 \sim \triangle AB_0C_0,$ side $B_0C_0$ corresponds to $AC_0,$ so the ratio is $r = \frac{17}{25},$ and $C_1C_0$ (corresponding to $B_0C_0$ ) equals $17r.$ Hence $\frac{AC_1}{AC_0} = \frac{25 - 17r}{25} = 1 - r^2,$ which is the similarity ratio of $\triangle AB_1C_1$ to $\triangle AB_0C_0.$

Segments $\overline{B_1C_1}$ and $\overline{B_0C_1}$ split $\triangle AB_0C_0$ into the three pieces, so $\begin{aligned} [B_0C_1B_1] &= 90\left(1 - r^2 - (1 - r^2)^2\right) \\ &= 90\,r^2(1 - r^2). \end{aligned}$ Each successive stage repeats the construction inside $\triangle AB_nC_n,$ scaling all areas by $(1 - r^2)^2,$ and the triangles $B_{n-1}C_nB_n$ have disjoint interiors.

The union's area is the geometric series $\begin{aligned} \frac{90\,r^2(1 - r^2)}{1 - (1 - r^2)^2} &= \frac{90(1 - r^2)}{2 - r^2} \\ &= 90 \cdot \frac{336/625}{961/625} \\ &= \frac{90 \cdot 336}{961}. \end{aligned}$ Since $961 = 31^2$ shares no factor with $90 \cdot 336 = 30240,$ the answer is $q = 961.$

2013 AIME I 第 13 题

答案：961

难度评级：3160

解答：

其他年份的第 13 题