Question

一副牌中的 $52$ 张牌编号为 $1, 2, \ldots, 52$ 。Alex、Blair、Corey、Dylan 各自从牌堆中不放回地抽一张牌，且每张牌被抽到的可能性相同。编号较小的两人组成一队，编号较大的两人组成另一队。已知 Alex 抽到 $a$ 与 $a + 9$ ，两张牌中的一张，Dylan 抽到这两张牌中的另一张，令 $p(a)$ 为 Alex 和 Dylan 在同一队的概率。满足 $p(a) \ge \frac{1}{2}$ 的 $p(a)$ 的最小值可写为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

The $52$ cards in a deck are numbered $1, 2, \ldots, 52.$ Alex, Blair, Corey, and Dylan each picks a card from the deck without replacement and with each card being equally likely to be picked. The two persons with lower numbered cards form a team, and the two persons with higher numbered cards form another team. Let $p(a)$ be the probability that Alex and Dylan are on the same team, given that Alex picks one of the cards $a$ and $a + 9,$ and Dylan picks the other of these two cards. The minimum value of $p(a)$ for which $p(a) \ge \frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：263

知识点：条件概率组合不等式

难度评级：3060

解答：

在 Alex 和 Dylan 持有 $a$ 与 $a + 9$ 的条件下，Blair 和 Corey 从剩余 $50$ 张牌中抽 $2$ 张。Alex 和 Dylan 成为队友，当且仅当这两张牌都小于 $a$ （Alex 和 Dylan 是高牌队），或都大于 $a + 9$ （他们是低牌队）。小于该数的牌有 $a - 1$ 张，大于另一个数的牌有 $52 - (a + 9) = 43 - a$ 张，所以 $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

分子为 $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904$ ，因此 $p(a) \ge \frac{1}{2}$ 变为 $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2}$ ，也就是 $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}$ 。因为 $a$ 是整数， $|a - 22| \ge 14$ ，所以 $a \le 8$ 或 $a \ge 36$ 。

这个抛物线在离 $a = 22$ 最近的可行点处最小： $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175}$ ，确实至少为 $\frac{1}{2}$ 。因此 $m + n = 88 + 175 = 263$ 。

Condition on Alex and Dylan holding $a$ and $a + 9.$ Blair and Corey then draw $2$ of the remaining $50$ cards, and Alex and Dylan are teammates exactly when both of those cards are below $a$ (Alex and Dylan are the high team) or both are above $a + 9$ (the low team). There are $a - 1$ cards below and $52 - (a + 9) = 43 - a$ cards above, so $p(a) = \frac{\binom{a-1}{2} + \binom{43-a}{2}}{\binom{50}{2}}.$

The numerator is $\frac{(a-1)(a-2) + (43-a)(42-a)}{2}$ $= a^2 - 44a + 904,$ so $p(a) \ge \frac{1}{2}$ becomes $a^2 - 44a + 904 \ge \frac{25 \cdot 49}{2},$ that is, $(a - 22)^2 \ge \frac{385}{2}.$ Since $a$ is an integer, $|a - 22| \ge 14,$ so $a \le 8$ or $a \ge 36.$

The parabola is smallest at the admissible points closest to $a = 22:$ $p(8) = p(36)$ $= \frac{\binom{7}{2} + \binom{35}{2}}{\binom{50}{2}}$ $= \frac{616}{1225}$ $= \frac{88}{175},$ which is indeed at least $\frac{1}{2}.$ Thus $m + n = 88 + 175 = 263.$

2010 AIME II 第 13 题

答案：263

难度评级：3060

解答：

其他年份的第 13 题