Question

假设 $y = \frac{3}{4}x$ 且 $x^y = y^x$ 。量 $x + y$ 可表示为有理数 $\frac{r}{s}$ ，其中 $r$ 和 $s$ 是互质的正整数。求 $r + s$ 。

Suppose that $y = \frac{3}{4}x$ and $x^y = y^x.$ The quantity $x + y$ can be expressed as a rational number $\frac{r}{s},$ where $r$ and $s$ are relatively prime positive integers. Find $r + s.$

答案

答案：529

知识点：指数换元法

难度评级：2230

解答：

将 $y = \frac{3}{4}x$ 代入 $x^y = y^x$ ，得对两边取 $x$ 次方根（这里各量为正），得 $x^{3/4} = \frac{3}{4}x$ ，所以除以 $x$ 得 $x^{-1/4} = \frac{3}{4}$ ，也就是 $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}$ 。 $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$

于是 $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27}$ ，并且因为 $\gcd(448, 81) = 1$ ，答案为 $448 + 81 = 529$ 。 $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$

Substituting $y = \frac{3}{4}x$ into $x^y = y^x$ gives $x^{\frac{3}{4}x} = \left(\tfrac{3}{4}x\right)^{x}.$ Taking $x$ th roots (the quantities here are positive), $x^{3/4} = \frac{3}{4}x,$ so dividing by $x$ yields $x^{-1/4} = \frac{3}{4},$ that is, $x = \left(\frac{4}{3}\right)^4 = \frac{256}{81}.$

Then $y = \frac{3}{4} \cdot \frac{256}{81} = \frac{64}{27},$ and $x + y = \frac{256}{81} + \frac{192}{81} = \frac{448}{81}.$ Since $\gcd(448, 81) = 1,$ the answer is $448 + 81 = 529.$

2010 AIME I 第 3 题

答案：529

难度评级：2230

解答：

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