2007 AIME I 第 3 题

Question

复数

z

等于

9 + bi

，其中

b

是正实数且

i^2 = -1

。已知

z^2

和

z^3

的虚部相等，求

b

。

The complex number

z

is equal to

9 + bi,

where

b

is a positive real number and

i^2 = -1.

Given that the imaginary parts of

z^2

and

z^3

are equal, find

b.

答案

答案：15

知识点：复数二项式定理

难度评级：1970

小提示：

用二项式定理展开

(9 + bi)^2

和

(9 + bi)^3

然后取出虚部

Expand

(9 + bi)^2

and

(9 + bi)^3

with the binomial theorem and extract the imaginary parts

大提示：

两个虚部都能被

b

整除；先约去它再求解

Both imaginary parts are divisible by

b;

cancel it before solving

解答：

由二项式定理，

z^2 = (81 - b^2) + 18bi

，且

z^3 = (729 - 27b^2)

+ (243b - b^3)i

。令虚部相等，得到

18b = 243b - b^3

。

因为

b

为正，所以可同除以

b

，得

b^2 = 243 - 18 = 225

，因此

b = 15

。

By the binomial theorem,

z^2 = (81 - b^2) + 18bi

and

z^3 = (729 - 27b^2)

+ (243b - b^3)i.

Setting the imaginary parts equal gives

18b = 243b - b^3.

Since

b

is positive we may divide by

b,

leaving

b^2 = 243 - 18 = 225,

so

b = 15.

2007 AIME I 第 3 题

答案：15

难度评级：1970

小提示：

大提示：

解答：

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