Question

设 $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ 求 $(x + 1)^{48}$ 。

Let $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Find $(x + 1)^{48}.$

答案

答案：125

知识点：裂项相消平方差根式

难度评级：2340

解答：

令 $y = \sqrt[16]{5}$ 。分子和分母同乘以 $y - 1$ ，通过反复使用平方差公式，分母会望远镜式地化简： $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

因此 $x + 1 = y = 5^{1/16}$ ，且 $(x+1)^{48} = 5^{48/16} = 5^3 = 125$ 。

Let $y = \sqrt[16]{5}.$ Multiplying the numerator and denominator by $y - 1$ telescopes the denominator by repeated difference of squares: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Hence $x + 1 = y = 5^{1/16},$ and $(x+1)^{48} = 5^{48/16} = 5^3 = 125.$

2005 AIME II 第 7 题

答案：125

难度评级：2340

解答：

其他年份的第 7 题