2004 AIME II 第 3 题

Question

一个实心长方体由

N

个全等的、边长为

1

厘米的小立方体面贴面粘成。当从能看见它三个面的方向观察时，恰有

231

个边长为

1

厘米的小立方体看不见。求

N

的最小可能值。

A solid rectangular block is formed by gluing together

N

congruent

1

-cm cubes face to face. When the block is viewed so that three of its faces are visible, exactly

231

of the

1

-cm cubes cannot be seen. Find the smallest possible value of

N.

答案

答案：384

知识点：长方体质因数分解最优化

难度评级：2110

小提示：

看不见的立方体正好是不接触这三个可见面的那些，它们形成一个

(p-1) \times (q-1) \times (r-1)

的长方体。

The unseen cubes are exactly those behind the three visible faces: they form a

(p-1) \times (q-1) \times (r-1)

block

大提示：

将

231 = 3 \cdot 7 \cdot 11

分解为三个正整数的乘积，逐一比较对应长方体的体积。

Factor

231 = 3 \cdot 7 \cdot 11

as a product of three positive integers in every possible way and compare the resulting volumes

解答：

设长方体尺寸为

p \times q \times r

。一个小立方体看不见，当且仅当它不接触三个可见面中的任何一个，所以看不见的小立方体形成

(p-1) \times (q-1) \times (r-1)

的块。因此

(p-1)(q-1)(r-1) = 231

= 3 \cdot 7 \cdot 11

。

将

231

写成三个正整数乘积的方式为

3 \cdot 7 \cdot 11

、

1 \cdot 3 \cdot 77

、

1 \cdot 7 \cdot 33

、

1 \cdot 11 \cdot 21

、

1 \cdot 1 \cdot 231

。对应长方体为

4 \times 8 \times 12

、

2 \times 4 \times 78

、

2 \times 8 \times 34

、

2 \times 12 \times 22

、

2 \times 2 \times 232

，体积分别为

384

，

624

，

544

，

528

，

928

。

最小值为

N = 384

。

Let the block measure

p \times q \times r.

A cube is hidden exactly when it touches none of the three visible faces, so the hidden cubes form a

(p-1) \times (q-1) \times (r-1)

block, giving

(p-1)(q-1)(r-1) = 231

= 3 \cdot 7 \cdot 11.

The ways to write

231

as a product of three positive integers are

3 \cdot 7 \cdot 11,

1 \cdot 3 \cdot 77,

1 \cdot 7 \cdot 33,

1 \cdot 11 \cdot 21,

and

1 \cdot 1 \cdot 231,

giving blocks

4 \times 8 \times 12,

2 \times 4 \times 78,

2 \times 8 \times 34,

2 \times 12 \times 22,

and

2 \times 2 \times 232,

with volumes

384,

624,

544,

528,

and

928.

The smallest is

N = 384.

2004 AIME II 第 3 题

答案：384

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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