Question

二项式展开也适用于非整数指数。也就是说，对满足 $|x| \gt |y|$ 的所有实数 $x$ 、 $y$ 、 $r$ ， $\left(10^{2002} + 1\right)^{10/7}$ 的通常小数写法中，小数点右边的前三个数字是什么？ $\begin{aligned} &(x + y)^r \\ &= x^r + r x^{r-1} y \\ &{}+ \frac{r(r - 1)}{2!}\,x^{r-2} y^2 \\ &{}+ \frac{r(r - 1)(r - 2)}{3!}\,x^{r-3} y^3 \\ &{}+ \cdots \end{aligned}$

The Binomial Expansion is valid for exponents that are not integers. That is, for all real numbers $x,$ $y,$ and $r$ with $|x| \gt |y|,$ $\begin{aligned} &(x + y)^r \\ &= x^r + r x^{r-1} y \\ &{}+ \frac{r(r - 1)}{2!}\,x^{r-2} y^2 \\ &{}+ \frac{r(r - 1)(r - 2)}{3!}\,x^{r-3} y^3 \\ &{}+ \cdots \end{aligned}$ What are the first three digits to the right of the decimal point in the decimal representation of $\left(10^{2002} + 1\right)^{10/7}?$

答案

答案：428

知识点：二项式定理模幂运算循环小数

难度评级：2640

解答：

用 $x = 10^{2002}$ 、 $y = 1$ 、 $r = \frac{10}{7}$ ：代入展开式：第一项是整数，第三项及之后的项远小于 $10^{-1000}$ ，小到不会影响最前面的几个小数位。所以这些数字来自 $\frac{10}{7} \cdot 10^{858} = \frac{10^{859}}{7}$ 的小数部分。 $\begin{aligned} &\left(10^{2002} + 1\right)^{10/7} \\ &= 10^{2860} + \frac{10}{7} \cdot 10^{858} \\ &{}+ \frac{\frac{10}{7} \cdot \frac{3}{7}}{2} \cdot 10^{-1144} \\ &{}+ \cdots. \end{aligned}$

该小数部分为 $\frac{10^{859} \bmod 7}{7}$ 。由于 $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$ 且 $859 \equiv 1 \pmod{6}$ ，得到 $10^{859} \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7}$ ，所以小数部分为 $\frac{3}{7} = 0.428571\ldots$ 。

小数点右边的前三个数字是 $428$ 。

Apply the expansion with $x = 10^{2002},$ $y = 1,$ and $r = \frac{10}{7}:$ $\begin{aligned} &\left(10^{2002} + 1\right)^{10/7} \\ &= 10^{2860} + \frac{10}{7} \cdot 10^{858} \\ &{}+ \frac{\frac{10}{7} \cdot \frac{3}{7}}{2} \cdot 10^{-1144} \\ &{}+ \cdots. \end{aligned}$ The first term is an integer, and the third and later terms are far smaller than $10^{-1000},$ too small to affect the leading decimal digits. So those digits come from the fractional part of $\frac{10}{7} \cdot 10^{858} = \frac{10^{859}}{7}.$

That fractional part is $\frac{10^{859} \bmod 7}{7}.$ Since $10^6 \equiv 1 \pmod{7}$ and $859 \equiv 1 \pmod{6},$ we get $10^{859} \equiv 10 \equiv 3 \pmod{7},$ so the fractional part is $\frac{3}{7} = 0.428571\ldots$

The first three digits to the right of the decimal point are $428.$

2002 AIME I 第 7 题

答案：428

难度评级：2640

解答：

其他年份的第 7 题