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2001 AIME II 第 3 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

3.

前四项为 x1=211x_1 = 211、x2=375x_2 = 375、x3=420x_3 = 420 和 x4=523x_4 = 523。对 n≥5n \ge 5，有 xn=xn−1−xn−2+xn−3−xn−4。 \begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \end{aligned}\text{。}求 x531+x753+x975x_{531} + x_{753} + x_{975} 的值。
The first four terms are x1=211,x_1 = 211, x2=375,x_2 = 375, x3=420,x_3 = 420, and x4=523.x_4 = 523. For n≥5,n \ge 5, xn=xn−1−xn−2+xn−3−xn−4. \begin{aligned} x_n &= x_{n-1} - x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4}. \end{aligned} Find the value of x531+x753+x975.x_{531} + x_{753} + x_{975}.
答案：898
知识点：递推找规律
难度评级：2070
小提示：
将 xn−1x_{n-1} 的递推式代入 xnx_n 的公式，可得 xn=−xn−5x_n = -x_{n-5}。
Substitute the recurrence for xn−1x_{n-1} into the formula for xnx_n to get xn=−xn−5x_n = -x_{n-5}
大提示：
该数列以 1010 为周期，所以把每个下标模 1010 化简，并用已知值算出 x5x_5。
The sequence repeats with period 10,10, so reduce each subscript mod 1010 and compute x5x_5 from the given values
解答：
当 n≥6n \ge 6 时，将 xn−1x_{n-1} 的递推式代入：xn=(xn−2−xn−3+xn−4−xn−5)−xn−2+xn−3−xn−4=−xn−5。 \begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5} \end{aligned}\text{。}因此 xn+10=−xn+5=xnx_{n+10} = -x_{n+5} = x_n，所以数列周期为 1010。
531531、753753 和 975975 除以 1010 的余数分别为 11、33 和 55，所以 x531=x1=211x_{531} = x_1 = 211、x753=x3=420x_{753} = x_3 = 420，且 x975=x5x_{975} = x_5 =x4−x3+x2−x1= x_4 - x_3 + x_2 - x_1 =523−420+375−211= 523 - 420 + 375 - 211 =267= 267。
所求和为 211+420+267=898211 + 420 + 267 = 898。
For n≥6,n \ge 6, substitute the recurrence for xn−1:x_{n-1}: xn=(xn−2−xn−3+xn−4−xn−5)−xn−2+xn−3−xn−4=−xn−5. \begin{aligned} x_n &= \\ &(x_{n-2} - x_{n-3} + x_{n-4} - x_{n-5}) \\ &\quad {}- x_{n-2} \\ &\quad {}+ x_{n-3} - x_{n-4} \\ &= -x_{n-5}. \end{aligned} Hence xn+10=−xn+5=xn,x_{n+10} = -x_{n+5} = x_n, so the sequence has period 10.10.
Since 531,531, 753,753, and 975975 leave remainders 1,1, 3,3, and 55 upon division by 10,10, we get x531=x1=211,x_{531} = x_1 = 211, x753=x3=420,x_{753} = x_3 = 420, and x975=x5x_{975} = x_5 =x4−x3+x2−x1= x_4 - x_3 + x_2 - x_1 =523−420+375−211= 523 - 420 + 375 - 211 =267.= 267.
The sum is 211+420+267=898.211 + 420 + 267 = 898.

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