2000 AIME I 第 3 题

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3.

在

(ax + b)^{2000}

的展开式中，

a

和

b

是互质的正整数，且

x^2

项和

x^3

项的系数相等。求

a + b

。

In the expansion of

(ax + b)^{2000},

where

a

and

b

are relatively prime positive integers, the coefficients of

x^2

and

x^3

are equal. Find

a + b.

答案

答案：667

知识点：二项式定理最大公约数

难度评级：1890

小提示：

令系数

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

和

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}

相等。

Set the coefficients

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

and

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}

equal

大提示：

约去公共因子得到

3b = 1998a

，再利用

a

和

b

互质这一条件。

Cancel common factors to get

3b = 1998a,

then use that

a

and

b

are relatively prime

解答：

由二项式定理，

x^2

项和

x^3

项的系数分别为

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

和

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}

。令它们相等并约去

a^2 b^{1997}

，得

\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a\text{，}

所以

b = \frac{1998}{3}\,a = 666a\text{。}

因为

\gcd(a, b) = 1

，只能

a = 1

、

b = 666

。因此

a + b = 667

。

By the binomial theorem, the coefficients of

x^2

and

x^3

are

\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}

and

\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.

Setting them equal and cancelling

a^2 b^{1997}

gives

\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,

so

b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.

Since

\gcd(a, b) = 1,

we must have

a = 1

and

b = 666,

so

a + b = 667.