Question

在 $(ax + b)^{2000}$ 的展开式中， $a$ 和 $b$ 是互质的正整数，且 $x^2$ 项和 $x^3$ 项的系数相等。求 $a + b$ 。

In the expansion of $(ax + b)^{2000},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are equal. Find $a + b.$

答案

答案：667

知识点：二项式定理最大公约数

难度评级：1890

解答：

由二项式定理， $x^2$ 项和 $x^3$ 项的系数分别为 $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ 和 $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}$ 。令它们相等并约去 $a^2 b^{1997}$ ，得 $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ 所以 $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

因为 $\gcd(a, b) = 1$ ，只能 $a = 1$ 、 $b = 666$ 。因此 $a + b = 667$ 。

By the binomial theorem, the coefficients of $x^2$ and $x^3$ are $\binom{2000}{2} a^2 b^{1998}$ and $\binom{2000}{3} a^3 b^{1997}.$ Setting them equal and cancelling $a^2 b^{1997}$ gives $\binom{2000}{2} b = \binom{2000}{3} a,$ so $b = \frac{1998}{3}\,a = 666a.$

Since $\gcd(a, b) = 1,$ we must have $a = 1$ and $b = 666,$ so $a + b = 667.$

2000 AIME I 第 3 题

答案：667

难度评级：1890

解答：

其他年份的第 3 题