1997 AIME 第 3 题

Question

萨拉本来要把一个两位数和一个三位数相乘，但她漏写了乘号，只把两位数写在三位数左边，形成一个五位数。这个五位数恰好是她本应得到的乘积的九倍。求这两个数的和。

Sarah intended to multiply a two-digit number and a three-digit number, but she left out the multiplication sign and simply placed the two-digit number to the left of the three-digit number, thereby forming a five-digit number. This number is exactly nine times the product Sarah should have obtained. What is the sum of the two-digit number and the three-digit number?

答案

答案：126

知识点：位值丢番图方程整除性

难度评级：2110

小提示：

若两位数为

a

，三位数为

b

，则形成的五位数是

1000a + b

If the two-digit number is

a

and the three-digit number is

b,

the five-digit number is

1000a + b

大提示：

将

1000a + b = 9ab

改写为

b(9a - 1) = 1000a

；由于

\gcd(9a - 1, a) = 1

，因子

9a - 1

必须整除

1000

Rewrite

1000a + b = 9ab

as

b(9a - 1) = 1000a;

since

\gcd(9a - 1, a) = 1,

the factor

9a - 1

must divide

1000

解答：

设

a

为两位数，

b

为三位数。条件为

1000a + b = 9ab

，整理得

b(9a - 1) = 1000a

。由于

\gcd(9a - 1, a) = 1

，数

9a - 1

必须整除

1000

。

当

a

是两位数时，

9a - 1

从

89

到

890

，且

9a - 1 \equiv 8 \pmod 9

。在这个范围内，与

8

模

9

同余的

1000

的唯一因数是

125

，所以

a = 14

，且

b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112

，确实是三位数。检验：

14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112

。

所求的和为

14 + 112 = 126

。

Let

a

be the two-digit number and

b

the three-digit number. The condition is

1000a + b = 9ab,

which rearranges to

b(9a - 1) = 1000a.

Since

\gcd(9a - 1, a) = 1,

the number

9a - 1

must divide

1000.

For a two-digit

a,

9a - 1

runs from

89

to

890,

and

9a - 1 \equiv 8 \pmod 9.

The only divisor of

1000

in that range congruent to

8

modulo

9

is

125,

giving

a = 14

and

b = \frac{1000 \cdot 14}{125} = 112,

which is indeed a three-digit number. Check:

14112 = 9 \cdot 14 \cdot 112.

The requested sum is

14 + 112 = 126.

1997 AIME 第 3 题

答案：126

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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