Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB=\sqrt{30}$ 、 $AC=\sqrt6$ ，且 $BC=\sqrt{15}$ 。存在一点 $D$ ，使得 $\overline{AD}$ 平分 $\overline{BC}$ ，并且 $\angle ADB$ 是直角。比值 $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m+n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB=\sqrt{30},$ $AC=\sqrt6,$ and $BC=\sqrt{15}.$ There is a point $D$ for which $\overline{AD}$ bisects $\overline{BC},$ and $\angle ADB$ is a right angle. The ratio $\frac{\operatorname{Area}(\triangle ADB)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)}$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m+n.$

答案

答案：65

知识点：中线（几何）面积比勾股定理

难度评级：2380

小提示：

令 $E$ 为 $\overline{BC}$ 的中点，则 $A$ 、 $E$ 和 $D$ 共线

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC},$ so $A,$ $E,$ and $D$ are collinear

大提示：

用中线公式求 $AE$ ，再比较两个共有 $BD$ 的直角三角形

Find $AE$ with the median formula, then compare two right triangles sharing $BD$

解答：

令 $E$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。于是 $A$ 、 $E$ 和 $D$ 共线。由中线公式， $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}\end{aligned}\text{。}$ 由于 $AB^2>AE^2+BE^2$ ， $AEB$ 角为钝角，所以垂足 $D$ 位于 $E$ 的外侧。 $\triangle ABD$ 和 $\triangle EBD$ 都在 $D$ 处为直角。因此 $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE\end{gathered}\text{。}$ 代入可得 $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE$ ，所以 $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}$ 。

三角形 $ABE$ 和 $DBE$ 的底边 $AE$ 与 $DE$ 在同一直线上，并且共用从 $B$ 引出的高；同时 $[ABC]=2[ABE]$ 。因此 $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}\end{aligned}\text{。}$ 所以 $m+n=65$ 。

Let $E$ be the midpoint of $\overline{BC}.$ Then $A,$ $E,$ and $D$ are collinear. The median formula gives $\begin{aligned}AE^2&=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}\\&=\frac{57}{4}.\end{aligned}$ Since $AB^2>AE^2+BE^2,$ angle $AEB$ is obtuse, so the perpendicular foot $D$ lies beyond $E.$ Both $\triangle ABD$ and $\triangle EBD$ are right at $D.$ Therefore $\begin{gathered}AB^2-BE^2\\=(AE+DE)^2-DE^2\\=AE^2+2AE\cdot DE.\end{gathered}$ Substitution gives $30-\frac{15}{4}=\frac{57}{4}+2AE\cdot DE,$ so $\frac{DE}{AE}=\frac{8}{19}.$

Triangles $ABE$ and $DBE$ have bases $AE$ and $DE$ on the same line and share the altitude from $B,$ while $[ABC]=2[ABE].$ Hence $\begin{aligned}\frac{[ADB]}{[ABC]}&=\frac{[ABE]+[DBE]}{2[ABE]}\\&=\frac12\left(1+\frac8{19}\right)\\&=\frac{27}{38}.\end{aligned}$ Thus $m+n=65.$

1996 AIME 第 13 题

答案：65

难度评级：2380

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