Question

方程 $x^{10}+(13x-1)^{10}=0$ 有 $10$ 个复根 $r_1$ 、 $\overline{r_1}$ 、 $r_2$ 、 $\overline{r_2}$ 、 $r_3$ 、 $\overline{r_3}$ 、 $r_4$ 、 $\overline{r_4}$ 、 $r_5$ 、 $\overline{r_5}$ ，其中上横线表示复共轭。求下式的值： $\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}\end{aligned}\text{。}$

The equation $x^{10}+(13x-1)^{10}=0$ has $10$ complex roots $r_1,$ $\overline{r_1},$ $r_2,$ $\overline{r_2},$ $r_3,$ $\overline{r_3},$ $r_4,$ $\overline{r_4},$ $r_5,$ $\overline{r_5},$ where the bar denotes complex conjugation. Find the value of $\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}$

答案

答案：850

知识点：单位根复数求和

难度评级：2650

小提示：

令 $\frac{x}{13x-1}=\zeta$ ，其中 $\zeta^{10}=-1$

Set $\frac{x}{13x-1}=\zeta,$ where $\zeta^{10}=-1$

大提示：

将 $\frac{1}{|x|^2}$ 用 $\zeta+\overline\zeta$ 表示，再对五对共轭根求和

Express $\frac{1}{|x|^2}$ in terms of $\zeta+\overline\zeta$ and sum over the five conjugate pairs

解答：

令 $\zeta=\frac{x}{13x-1}$ ，则 $\zeta^{10}=-1$ ，并且 $\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}\end{aligned}\text{。}$ 由于 $|\zeta|=1$ ， $\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta)\end{aligned}\text{。}$ 从每对共轭根中取一个值求和，得到 $5\cdot170$ ，再减去 $13$ 乘以 $z^{10}+1$ 的全部十个根之和；这个根之和为 $0$ 。所求值为 $850$ 。

Let $\zeta=\frac{x}{13x-1},$ so $\zeta^{10}=-1$ and $\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}.\end{aligned}$ Since $|\zeta|=1,$ $\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta).\end{aligned}$ Summing one value for each of the five conjugate pairs gives $5\cdot170$ minus $13$ times the sum of all ten roots of $z^{10}+1,$ which is $0.$ The requested value is $850.$

1994 AIME 第 13 题

答案：850

难度评级：2650

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解答：

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