Question

Solo usando monedas de un centavo, cinco centavos, diez centavos y veinticinco centavos, ¿cuál es el menor número de monedas que Freddie necesitaría para poder pagar cualquier cantidad de dinero menor que un dólar?

Using only pennies, nickels, dimes, and quarters, what is the smallest number of coins Freddie would need so he could pay any amount of money less than a dollar?

$\ 6$

$\ 10$

$\ 15$

$\ 25$

$\ 99$

Respuesta: B

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Se necesitan al menos cuatro monedas de un centavo para pagar $4$ centavos. Después de esas cuatro monedas, la siguiente debe valer como máximo $5$ centavos para poder pagar $5$ centavos; una moneda de cinco centavos es la mejor opción. Esas cinco monedas suman solo $9$ centavos. La siguiente moneda debe valer como máximo $10$ centavos, e incluso una moneda de diez centavos eleva el total solo a $19$ centavos. Por tanto, hace falta otra moneda de valor máximo $20$ centavos, de modo que se necesitan al menos siete monedas antes de usar monedas de veinticinco centavos sin dejar un hueco.

Con solo nueve monedas, quedarían como máximo dos después de las siete necesarias. Las primeras siete pueden sumar como máximo $4+5+10+10=29$ centavos, y dos monedas más de veinticinco centavos elevarían el total solo a $79$ centavos. Por eso, nueve monedas no pueden pagar todas las cantidades hasta $99$ centavos.

Diez monedas sí funcionan: cuatro monedas de un centavo, una de cinco, dos de diez y tres de veinticinco pueden formar todas las cantidades desde $1$ hasta $99$ centavos. Por tanto, el mínimo es $10$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

At least four pennies are necessary to pay $4$ cents. After those four pennies, the next coin must be worth at most $5$ cents so that $5$ cents can be paid; a nickel is the best choice. Those five coins total only $9$ cents. The next coin must be worth at most $10$ cents, and even a dime brings the total to only $19$ cents. One more coin worth at most $20$ cents is therefore necessary, so at least seven coins are needed before quarters can be used without leaving a gap.

With only nine coins total, at most two coins could remain after those required seven. The first seven can total at most $4+5+10+10=29$ cents, and two more quarters would bring the total to only $79$ cents, so nine coins cannot pay every amount through $99$ cents.

Ten coins do work: four pennies, one nickel, two dimes, and three quarters can make every amount from $1$ through $99$ cents. Therefore the minimum is $10$ .

Therefore, the answer is B .

2010 AMC 8 Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

El Problema 7 en otros años