2010 AMC 8 Problema 7
Intenta el Problema 7 del 2010 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
7.
Solo usando monedas de un centavo, cinco centavos, diez centavos y veinticinco centavos, ¿cuál es el menor número de monedas que Freddie necesitaría para poder pagar cualquier cantidad de dinero menor que un dólar?
Using only pennies, nickels, dimes, and quarters, what is the smallest number of coins Freddie would need so he could pay any amount of money less than a dollar?
Respuesta: B
Pista pequeña:
Después de poder formar todas las cantidades hasta centavos, las monedas de veinticinco centavos pueden extender el rango hasta centavos
After making every amount through cents, quarters can extend the range to cents.
Pista grande:
Primero fija las monedas necesarias para formar cantidades pequeñas como , y centavos
First force the coins needed to make small amounts like , , and cents.
Solución:
Se necesitan al menos cuatro monedas de un centavo para pagar centavos. Después de esas cuatro monedas, la siguiente debe valer como máximo centavos para poder pagar centavos; una moneda de cinco centavos es la mejor opción. Esas cinco monedas suman solo centavos. La siguiente moneda debe valer como máximo centavos, e incluso una moneda de diez centavos eleva el total solo a centavos. Por tanto, hace falta otra moneda de valor máximo centavos, de modo que se necesitan al menos siete monedas antes de usar monedas de veinticinco centavos sin dejar un hueco.
Con solo nueve monedas, quedarían como máximo dos después de las siete necesarias. Las primeras siete pueden sumar como máximo centavos, y dos monedas más de veinticinco centavos elevarían el total solo a centavos. Por eso, nueve monedas no pueden pagar todas las cantidades hasta centavos.
Diez monedas sí funcionan: cuatro monedas de un centavo, una de cinco, dos de diez y tres de veinticinco pueden formar todas las cantidades desde hasta centavos. Por tanto, el mínimo es .
Por lo tanto, la respuesta es B.
At least four pennies are necessary to pay cents. After those four pennies, the next coin must be worth at most cents so that cents can be paid; a nickel is the best choice. Those five coins total only cents. The next coin must be worth at most cents, and even a dime brings the total to only cents. One more coin worth at most cents is therefore necessary, so at least seven coins are needed before quarters can be used without leaving a gap.
With only nine coins total, at most two coins could remain after those required seven. The first seven can total at most cents, and two more quarters would bring the total to only cents, so nine coins cannot pay every amount through cents.
Ten coins do work: four pennies, one nickel, two dimes, and three quarters can make every amount from through cents. Therefore the minimum is .
Therefore, the answer is B .
El Problema 7 en otros años
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