2009 AMC 8 Problema 9

Question

Construye un cuadrado sobre un lado de un triángulo equilátero. Sobre un lado no adyacente del cuadrado, construye un pentágono regular, como se muestra. Sobre un lado no adyacente del pentágono, construye un hexágono regular. Continúa construyendo polígonos regulares de la misma manera, hasta construir un octágono. ¿Cuántos lados tiene el polígono resultante?

Construct a square on one side of an equilateral triangle. On one non-adjacent side of the square, construct a regular pentagon, as shown. On a non-adjacent side of the pentagon, construct a regular hexagon. Continue to construct regular polygons in the same way, until you construct an octagon. How many sides does the resulting polygon have?

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Respuesta: B

Conceptos:polígono regular conteo básico

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Cuenta solo los lados exteriores de cada polígono

Count only the outside sides of each polygon.

Pista grande:

Los polígonos del medio comparten dos lados; los dos polígonos de los extremos comparten un lado cada uno

Middle polygons share two sides; the two end polygons share one side each.

Solución:

El triángulo y el octágono están en los extremos de la cadena, así que cada uno pierde un lado por un borde compartido. El cuadrado, el pentágono, el hexágono y el heptágono están en el medio, así que cada uno pierde dos lados por bordes compartidos.

El polígono resultante tiene

\begin{aligned} &(3-1)+(4-2) \\ &\quad {}+(5-2)+(6-2) \\ &\quad {}+(7-2)+(8-1)=23 \end{aligned}

lados.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The triangle and octagon are at the ends of the chain, so each loses one side to a shared edge. The square, pentagon, hexagon, and heptagon are in the middle, so each loses two sides to shared edges.

The resulting polygon has

\begin{aligned} &(3-1)+(4-2) \\ &\quad {}+(5-2)+(6-2) \\ &\quad {}+(7-2)+(8-1)=23 \end{aligned}

sides.

Thus, B is the correct answer.